原理

【Floyd算法】用动态规划的思想求任意两点之间的最短路径
【评价】时间复杂度O(n3)O(n^3)O(n3)，空间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)，但形式上比Dijkstra简单些，也容易理解
【基本思想】以二维数组D[v][w]保存v->w的最短路径长度

【初始状态】D[v][w] --> 没有中间点，v直接走到w的距离
【分别考虑所有结点u】把u看成中转站，检查v->u->w（即D[v][u]+D[u][w]）是否比v->w（即D[v][w]）小，如果小就更新D[v][w]的值

【当然】我们还需要一个path[v][w]的二维数组来保存路径（path[][]详细解释请看下文）

【主要公式】

// D[v][w]存储v->w的最短路径长度
// v->w中间可能经过很多点
if (D[v][u] + D[u][w] < D[v][w]) { // v->u->w的长度 < 当前v->w的长度D[v][w] = D[v][u] + D[u][v]; //那么最短路径D[v][w]即是 v->u->w的距离path[i][j] = v; //i->j的路径上，有中转站v
}

【算法示例】

核心代码

void PrintPath(int u, int v, int path[][maxSize]) {int mid;if (path[u][v]==-1) {//直接输出，没有中间点printf("<%c,%c> ", vertexs[u], vertexs[v]);} else { //有中间点mid = path[u][v];PrintPath(u, mid, path);PrintPath(mid, v, path);}
}
void Floyd(int n, int MGraph[][maxSize], int path[][maxSize]) {int i,j,v;int A[maxSize][maxSize]; //最短路径//初始化：A-1没有考虑中间节点for (i=0; i<n; ++i) {for (j=0; j<n; j++) {A[i][j] = MGraph[i][j];path[i][j] = -1;}}//循环考虑中间节点for (v=0; v<n; ++v) {for (i=0; i<n; ++i) {for (j=0; j<n; ++j) {if (A[i][j]>A[i][v]+A[v][j]) {A[i][j] = A[i][v] + A[v][j];path[i][j] = v;}}}}
}

代码

测试数据	结果	0->3的最短路径
		0到3的最短路径为`0->5->4->3`，即`A->F->E->D`

path[][]数组解释

结点		A	B	C	D	E	F	G
	下标	0	1	2	3	4	5	6
A	0	1	-1	1	5	5	-1	-1
B	1	-1	-1	2	-1	2	3	6
C	2	1	-1	1	-1	3	4	1
D	3	5	2	-1	4	-1	4	-1
E	4	5	3	3	-1	5	-1	5
F	5	-1	6	4	4	-1	4	-1
G	6	-1	-1	1	-1	5	-1	3

【path[u][v]的值】u->v的最短路径中，有中转站path[u][v]
【特殊值】path[u][v]=-1：表示u到v之间没有中间节点–>u到v的最短路径即是边u->v
【求法】求0到3的最短路径

path[0][5]=5 --> 0到3的路上有中转站5，即0->5->3
【0->5->3前半段】path[0][5]=1 --> 0到5的路上没有中转站了，前半段即0->5
【0->5->3后半段】path[5][3]=4 --> 5到3的路上有中转站4，后半段5->4->3
1. 【5->4->3前半段】path[5][4]=-1 --> 没有中转站了，即5->4
2. 【5->4->3后半段】path[4][3]=-1 --> 没有中转站，即4->3

【综上】0到3的最短路径为0->5->4->3，即A->F->E->D

完整代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>#define maxSize 10
#define INF 100int MGraph[maxSize][maxSize]; //邻接矩阵
char vertexs[maxSize]; //结点信息void PrintPath(int u, int v, int path[][maxSize]) {int mid;if (path[u][v]==-1) {//直接输出，没有中间点printf("<%c,%c> ", vertexs[u], vertexs[v]);} else { //有中间点mid = path[u][v];PrintPath(u, mid, path);PrintPath(mid, v, path);}
}
void Floyd(int n, int MGraph[][maxSize], int path[][maxSize]) {int i,j,v;int A[maxSize][maxSize]; //最短路径//初始化：A-1没有考虑中间节点for (i=0; i<n; ++i) {for (j=0; j<n; j++) {A[i][j] = MGraph[i][j];path[i][j] = -1;}}//循环考虑中间节点for (v=0; v<n; ++v) {for (i=0; i<n; ++i) {for (j=0; j<n; ++j) {if (A[i][j]>A[i][v]+A[v][j]) {A[i][j] = A[i][v] + A[v][j];path[i][j] = v;}}}}
}int main() {/*
7
ABCDEFG
10000 18 10000 10000 10000 19 18
18 10000 8 10000 10000 10000 20
10000 8 10000 20 10000 10000 10000
10000 10000 20 10000 9 16 15
10000 10000 10000 9 10000 3 10000
19 10000 10000 16 3 10000 15
18 20 10000 15 10000 15 10000
0 2
0 3
0 4
1 6
4 6
3 6
*/int n;int i,j;char tmp[maxSize+5];int path[maxSize][maxSize];int start,end;scanf("%d", &n); //结点数scanf("%s", tmp); //结点信息for (i=0; i<n; i++)vertexs[i] = tmp[i];for (i=0; i<n; i++) { //矩阵for (j=0; j<n; j++) {scanf("%d", &MGraph[i][j]);}}Floyd(n, MGraph, path);//打印path数组printf("- path数组\n");printf("结点");for (i=0; i<n; i++) {printf("\t%c", vertexs[i]);}printf("\n");for (i=0; i<n; i++) {printf("%c\t", vertexs[i]);for (j=0; j<n; j++) {printf("%d\t", path[i][j]);}printf("\n");}//输出最短路径while (1) {printf("\n\n>>> 输入起始点的下标（空格间隔）：");scanf("%d %d" , &start, &end); //输入两个测试的顶点，求v->w的最短路径printf("%c->%c最短路径：", vertexs[start], vertexs[end]);PrintPath(start, end, path);}return 0;
}

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[图] Floyd算法|佛洛依德 - 任意两点的最短路径 - C语言实现

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