Gauss消元法(特解与通解)

这里给出了加强版本的高斯消元算法的实现,当未知数的个数多于方程的数量时,则将方程的解表示为其余某些未知数与常数的线性组合,若可确定解,则给出常数解。

基本思路是:

(1)(1)找到第i列不是0的元素,将它交换到第i行,然后将第i+1到n行的中的第i个元素全部消为0。经过n-1次循环,最后得到一个上三角矩阵。

(2)(2)从最后一行开始进行展开,将下一行未知数解出,然后带入上一行,解出新的未知数的解的多项式，然后不停迭代。

(3)(3)当方程的解只有特解时,得到的是只关于常数的一系列多项式。通解是关于后n−R(A)n-R(A)个未知数的线性组合;


def gauss(a):ep = 0.1**(15)n = len(a)num = len(a[0])array = []for i in range(0,n):p = -1for k in range(i,n):if abs(a[k][i])>ep:p=k;breakif p==-1:continuea[i],a[p] = a[p],a[i]if a[i]!=[0]*num:array.append(a[i])x = a[i][i]for j in range(i+1,n):if abs(a[j][i])<ep:continuek = -a[j][i]/(x)for m in range(i,num):a[j][m]+= k*a[i][m]a = array;n = len(a);num = len(a[0])for index in range(0,num-1):if a[-1][index]!=0:breaklast = deque()for k in range(0,num-index-2):last.append([1 if m==k else 0 for m in range(num-index-2)]+[0])for i in range(n-1,-1,-1):sum_1 = [0]*(num-index-2)constant = 0for item in zip(a[i][i+1:num-1],last):constant += item[0]*item[1][-1]#compute the constantfor ind in range(len(item[1])-1):sum_1[ind] -= item[0]*item[1][ind]/a[i][i]sum_1.append((a[i][-1]-constant)/a[i][i])last.appendleft(sum_1)print(a,last)
#gauss([[1,1,2,3,3],[2,1,2,4,5],[1,1,4,5,3],[1,3,7,4,6]])

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