算法流程

输入：增广矩阵
输出：方程组的解，或方程组无解的提示

对于k = 1,2,…,n-1,执行步骤2到步骤5
选择第k列中最大的元素，将其所在行换到第k行。如果最大元素是0，则方程无解，程序退出
对于i = k + 1,…,n，计算
l i k = a i k a k k a i j = a i j − l i k a k j b i = b i − l i k b k l_{ik} = \frac{a_{ik}}{a_{kk}}\\ \;\\ a_{ij}=a_{ij}-l_{ik} a_{kj}\\ \;\\ b_{i}=b_{i}-l_{ik} b_{k} lik=akkaikaij=aij−likakjbi=bi−likbk
回代
x n = b n a n n x i = b i − ∑ j = i + 1 n a i j x j a i i x_n = \frac{b_n}{a_{nn}}\\ \;\\ x_i = \frac{b_i-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j}{a_{ii}} xn=annbnxi=aiibi−∑j=i+1naijxj
输出 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn.

代码

def SolvingLinearEquations(AugmentedMatrix):col = AugmentedMatrix.shape[1] #增广矩阵列数#消元for i in range(col- 2):current_column  = AugmentedMatrix[i:,i] max_index = np.argmax(current_column) + i #寻找最大元if(AugmentedMatrix[max_index,i] == 0):print("无唯一解")returnAugmentedMatrix[[i,max_index],:] = AugmentedMatrix[[max_index,i],:] #交换l = AugmentedMatrix[i+1:,i] / AugmentedMatrix[i,i] #计算系数m =  np.tile(AugmentedMatrix[i,:],(l.shape[0],1)) * np.tile(l,(col,1)).T #计算消元时减去的矩阵AugmentedMatrix[i+1:,:] = AugmentedMatrix[i+1:,:] - m #消元if(AugmentedMatrix[col - 2,col - 2] == 0):print("无唯一解")return#代入x = np.zeros(col-1)for i in range(col-2,-1,-1):x[i] = (AugmentedMatrix[i,-1] - np.dot(AugmentedMatrix[i,:-1] , x.T)) / AugmentedMatrix[i,i]return x

测试

以下面这道题做实验

#增广矩阵
A =  np.array([[0.0120,0.0100,0.1670,0.6781],[1.000,0.8334,5.910,12.10],[3200,1200,4.200,983.3]])
x = SolvingLinearEquations(A)

程序计算结果
[ 17.4605799 , -45.76154086, 5.54603862]

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Python解线性方程组：列主元Gauss消元法

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