WC2017 Day3

近似算法

0x00 提纲

• 为什么需要近似算法
• 近似算法简介
• 总结

0x01 为什么需要近似算法？

• 这一部分都在胡扯

算法的特点

• 复杂度（时间，空间）
• 正确性（方法正确性，程序正确性）
• 简单性（程序结构简单，便于调试）

如何评价时间复杂度？

• 对于给定问题，执行的基本运算次数
• 基本运算选择（比较，加减乘除，置指针）
• W(n) 最坏复杂度(Worst)
• A(n) 平均复杂度(Average)

我们的需求？

• 保证复杂度的前提下使算法尽量简单

基于时间的最优性

• 最坏情况下最优
• 平均情况下最优

算法最优？

• 算法复杂度上界与问题复杂度下界相等

如何求问题复杂度下界？

• 问题的输入输出规模（平凡下界）
• 数学推导

如何求算法复杂度上界？

• 瞎搞一个算法，直接计算基本运算次数
• 显然你瞎搞出来的任何一个正确的算法都是一个上界

P,NP

• P：时间复杂度与输入规模多项式相关，存在多项式时间算法
• NP：不存在多项式时间算法（指数，阶乘）

判定问题

• 答案只有是和否
• 01背包的判定问题？
• 搜索问题，组合优化问题和对应的判定问题

P类与NP类问题

• P类：多项式时间内可解的判定问题
• NP类：多项式时间内可验证的判定问题

多项式时间转换

• 两个问题的答案可以在多项式时间内相互转化

0X02 为什么需要近似算法？

• 有一些问题我们不知道有没有多项式时间算法
• 我们需要近似算法来找到一个较优解
• 较优解和最优解的比值r
• 如果r为常数，称为常数近似比算法
• 光对着PPT读是不是不太合适

近似算法分类

• 完全可近似：可以无限趋紧最优解（背包问题）
• 可近似：存在常数近似比算法（最小顶点覆盖，多级调度）
• 不可近似：找不到常数近似比算法（TSP问题）

最小顶点覆盖问题

• MVC算法 r=2

多机调度问题

• 神TM多机调度，就是k划分问题
• 把一个集合划分成k个子集，使这k个子集的元素和中最大值最小
• G-MPS：贪心，按输入的顺序分配元素，把当前元素分配给当前最小的集合
• r？$ 2-\frac{1}{k} $
• DG-MPS：在G-MPS的基础上把元素从大到小排序
• r?$ \frac{3}{2}-\frac{1}{2k} $

TSP

• 最近邻法NN：每次找一个最近的没走过的点
• r？$ \frac{1}{2}\left( \lceil log_2{n} \rceil +1 \right) $
• 这不好使，随着城市规模变大越来越不精确
• 有没有常数近似比算法？
• 在满足三角不等式的情况下，确实存在常数近似比算法
• 一般的TSP问题不存在常数近似比算法

总结

• 并非所有问题都能用近似算法解决

信息学竞赛中的整数和多项式

• 毕克大爷啊orz
• orz和郑州的讲课差不多

0x00 加法，乘法和乘方

一堆集合，有属于关系，做多n个元素，计数

做过的题

JSOI 子集选取

• $ 2^{nk} $
• 打表题

有什么用？

• 发现集合中的每个元素独立
• 最后的答案一定是$ x^n $的形式

求斐波那契数列的第n项

• 矩乘
• 多项式取模
• FFT优化多项式取模
• 考虑原根，对于1或9结尾的质数p，找一个数使$ x^2 $ = 5 (mod p)
• 认为x就是$ \sqrt{5} $，代进通项公式
• 也可以递归
• $ f_{2n-1}=f_{n}^2+f_{n-1}^2 $
• $ f_{2n}=\left(2f_{n-1}+f_{n}\right)f_{n} $

亿兆京垓(Radixphi)

• 直接贪心？会有精度问题。
• $ p^n $ 有两项， $ \sqrt{5} $ 和整数项，这两项的系数分别是斐波那契数列，分数不好搞，把整数项系数乘二以后都是整数
• 最终的目标是使选出集合中的$ \sqrt{5} $系数和为0，整数项系数和为2n
• 显然选n个第0项是合法的，但是不能选n个
• 选n个第0项？这和普通的斐波那契拆分一样。
• 那么从大往小贪心也是可以的
• 但是有负数？怎么办？
• 不妨把整个斐波那契数列往左移47位，即令n=n+n*f[47]，然后从大往小贪心
• 这样贪心涉及的整个数列就都是正的
• 最后的答案再-47
• 稳！

卷积？

• 直接暴力
• 插值，可以快速幂
• FFT优化插值

求$ \sum_{i=0}^{n}i^k $

• 差分拆成组合数
• 高斯消元
• 插值

生成树计数

• Matrix-Tree定理
• 基尔霍夫矩阵

生成树计数改：边分红蓝两种，要求统计恰好含有k条红边的生成树个数

• 设红边为x，蓝边为1
• 还想刚才那么搞，最后$ x^k $就是要求的生成树个数
• 多项式运算不好做，插值

生成树计数改二：边分红黄蓝绿四种，要求红色不少于黄色，蓝色不少于绿色

-红边$ {x^2}y \(,黄边y，蓝边\) x{y^2}$，绿边x

0x01 生成函数

• 断线

0x02 Burnside引理 Polya定理

• 这公式太烦了我实在不能在一页ppt的时间里敲出来

总结

• orz 晚上试机，尝试在linux下码了个对拍，打了个起床困难综合征，居然Day0都有一道提答
• 系统是Ubuntu 14.04 LTS
• 没有IDE啊，我怎么遭得住
• 临时学习命令行