神奇的多项式求导矩阵与积分矩阵

线性代数是一门有趣又有用的学科。基于机器学习、深度学习等技术的人工智能的核心数学知识就包含数理统计、微积分与线性代数。

通过求导矩阵对多项式求导：

例：

f(x)=4x2+3x+2f(x) = 4 x^2 + 3 x + 2f(x)=4x2+3x+2

则声明其系数向量与次数矩阵。

y=[432]y = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 2\\ \end{aligned}\right]y=⎣⎢⎡432⎦⎥⎤

D=[000200010]D = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]D=⎣⎢⎡020001000⎦⎥⎤

将 D 与 y 做乘，则得到求导后的系数：

dydx=[083]\frac{dy}{dx} = \left[\begin{aligned} 0\\ 8\\ 3\\ \end{aligned}\right]dxdy=⎣⎢⎡083⎦⎥⎤

对应数学表达式：

f′(x)=0x2+8x+3f'(x) = 0 x^2 + 8 x + 3f′(x)=0x2+8x+3

同理，可推导积分矩阵：

Dy=dydxDy = dydxDy=dydx
DD−1y=D−1dydxDD^{-1}y = D^{-1}dydxDD−1y=D−1dydx
D−1y=dydxD^{-1}y = dydxD−1y=dydx

因此，对于式 g(x)=8x+3g(x) = 8 x + 3g(x)=8x+3 ，其积分矩阵为：

原式线性多项式最高次幂为1，则积分后最高次幂为2，则积分矩阵要表达 2 次的系数，因此 n=3n=3n=3；
即先写出正常的 DDD ，再取 DDD 的（伪）逆。

则对于 g(x)g(x)g(x) ，积分矩阵为：

D−1=[000200010]−1D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]^{-1}D−1=⎣⎢⎡020001000⎦⎥⎤−1

D−1=[00.50001000]D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0.5 & \quad 0\\ 0 & \quad 0 & \quad 1\\ 0 & \quad 0 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]D−1=⎣⎢⎡0000.500010⎦⎥⎤

将 D−1D^{-1}D−1 与系数向量做乘，则得到积分后的系数：

∫g(x)dx=[430]\int g(x) dx = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 0\\ \end{aligned}\right]∫g(x)dx=⎣⎢⎡430⎦⎥⎤

对应数学表达式：

∫g(x)=4x2+3x\int g(x) = 4 x^2 + 3 x∫g(x)=4x2+3x

注意该不定积分没有常数项。

启发：该方法很好理解，利用了矩阵的性质，实现了系数的自动变换与落位，在计算实现时可以考虑该方法减少迭代次数，提高运算效率。但是可能只适合线性多项式。

下面是一个 matlab 的例题，我先通过求导矩阵求其求导后，在通过积分矩阵求其原式，但是不带常数项。

4th order polynomial

》DD =0     0     0     0     04     0     0     0     00     3     0     0     00     0     2     0     00     0     0     1     0》YY =24683》dy = D * Ydy =0812128》% 如何通过dy求Y？ 先对D求逆，即积分矩阵
》D_1 = pinv(D)D_1 =0    0.2500         0         0         00         0    0.3333         0         00         0         0    0.5000         00         0         0         0    1.00000         0         0         0         0》Y = D_1 * dyY =24680

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