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第六章 薄板的屈曲

钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。

板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。设板的最小宽度为b，厚度为t。当t/b>1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。当1/80~1/100

与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点：

⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩、和扭矩以及板的挠度w都与此点的坐标(x，y)有关。

⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。可以用能量法(如瑞利—里兹法，伽辽金法)或者数值法(如差分法、有限元法等)求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。

⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。

⑷按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。

6.1 小挠度理论板的弹性曲面微分方程

等厚度薄板的坐标系如图6.1(a)所示，板厚1／2平面，即xy平面为板的中面。从板中任取一微元体dxdydz，在每一个面上作用的正应力和剪应力见图6.1(b)。

图6.1 薄板的坐标系及微元体上的应力

6.1.1 采用小挠度理论的三个假定

(1)垂直于中面方向的正应变极微小，可以忽略。取，由得

上式说明板的任何一点的挠度只与坐标x和y有关，即在中面的任何一根法线上，薄板全厚度内的所有各点具有相同的挠度。

(2)应力分量、和远小于、和，因此可以忽略不计它们产生的正应变、剪应变和。

因为不计、引起的剪应变，则

从而得

，

因为不计引起的正应变，则由物理方程有

由上式可见，薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同，即薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应力问题。

(3)薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变，即

，，

说明中面的任意一部分虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy平面上的投影形状保持不变。

6.1.2 弹性曲面微分方程

薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，薄板的挠度为基本未知函数，根据几何方程，物理方程和力的平衡关系，将其它物理量都用表示，就可以建立小挠度理论板的弹性曲面微分方程[22]。就图6.2所示微面元dxdy，可以得到

(6.1)

式中

——板的抗弯刚度；

图6.2 微面元的中面力分布

、——板中面沿、轴方向单位长度上的应力；

——板中面单位长度上的剪力。

板在各种中面力(、和)作用下，其失稳为分岔失稳。板的弹性曲面微分方程属二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想的矩形板可以直接求出其分岔失稳荷载外，对其他受力条件和边界条件的板用平衡法很难直接求解，经常采用能量法或数值法求解。

6.1.3 单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载

图6.3所示单向(向)均匀受压四边简支板，，式(6.1)变为

边界条件

当、时，，

当、时，，

符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示

(6.2)

图6.3 均匀受压简支板

式中、分别为板失稳时在和方向的半波数，，，而为待定常数。将式(6.2)代入式(6.1)得到

(6.3)

满足式(6.3)无穷项之和恒为零的唯一条件是每一项系数中括弧内的式子为零，即板的失稳条件为

(6.4)

或

(6.5)

由于临界荷载应是板保持微弯状态的最小荷载，因而取，则

(6.6)

式中为屈曲系数，且

(6.7)

其中

由，即解出，代入式(6.7)得，与之间