通用求根公式①

计算公式与步骤

a x 3 + b x 3 + c x + d = 0 ax^3+bx^3+cx+d =0 ax3+bx3+cx+d=0
① 计算 u u u和 v v v
u = 9 a b c − 27 a 2 d − 2 n 3 54 a 3 u =\frac {9abc-27a^2d-2n3} {54a^3} u=54a39abc−27a2d−2n3
v = 3 ( 4 a c 3 − b 2 c 2 − 18 a b c d + 27 a 2 d 2 + 4 b 3 d ) 18 a 2 v =\frac{\sqrt{3(4ac^3-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2+4b^3d)}} {18a^2} v=18a23(4ac3−b2c2−18abcd+27a2d2+4b3d)
② 计算 m m m
当 ∣ u + v ∣ ≥ ∣ u − v ∣ |u+v|\ge|u-v| ∣u+v∣≥∣u−v∣时 m = u + v 3 m=\sqrt[3]{u+v} m=3u+v
当 ∣ u + v ∣ < ∣ u − v ∣ |u+v|<|u-v| ∣u+v∣<∣u−v∣时 m = u − v 3 m=\sqrt[3]{u-v} m=3u−v

③ 计算 n n n
当 ∣ m ∣ ≠ 0 |m|\ne0 ∣m∣=0时 n = b 2 − 3 a c 9 a 2 m n=\frac{b^2-3ac}{9a^2m} n=9a2mb2−3ac
当 ∣ m ∣ = 0 |m|=0 ∣m∣=0时 n = 0 n=0 n=0
④计算根
其中：
w = − 1 2 + 3 2 i w=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i w=−21+23 i
w 2 = − 1 2 − 3 2 i w^2=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i w2=−21−23 i
那么根为：
x 1 = m + n − b 3 a x_1=m+n-\frac{b}{3a} x1=m+n−3ab
x 2 = w m + w 2 n − b 3 a x_2=wm+w^2n-\frac{b}{3a} x2=wm+w2n−3ab
x 3 = w 2 m + w n − b 3 a x_3=w^2m+wn-\frac{b}{3a} x3=w2m+wn−3ab

C#代码

using System;namespace SEUC
{class Program{static void Main(string[] args){double? x1 = 0;double? x2 = 0;double? x3 = 0;double? x2i = 0;double? x3i = 0;SolveEquation.unaryCubic(1,-3,2,-1000,out x1,out x2,out x2i,out x3,out x3i);Console.WriteLine($"x1={x1}");string symbol2 = x2i > 0 ? "+" : "";Console.WriteLine($"x2={x2}{symbol2}{x2i}i");string symbol3 = x3i > 0 ? "+" : "";Console.WriteLine($"x3={x3}{symbol3}{x3i}i");Console.ReadLine();}}/// <summary>/// 通用求根公式/// </summary>class SolveEquation{/// <summary>/// 三元一次方程/// ax^3+bx^2+cx+d=0/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <param name="c"></param>/// <param name="d"></param>/// <param name="x1">第一个根</param>/// <param name="x2">第二个根实数部分</param>/// <param name="x2i">第二个根虚数部分</param>/// <param name="x3">第三个根实数部分</param>/// <param name="x3i">第三个根虚数部分</param>public static void unaryCubic(double a, double b, double c, double d, out double? x1, out double? x2, out double? x2i, out double? x3, out double? x3i){x1 = null;x2 = null;x3 = null;double uu = 9.0 * a * b * c -27.0 * a * a * d - 2.0 * b * b * b;double ud = 54.0*a*a*a;double u = uu / ud;double vup = 3.0 * (4.0 * a * c * c * c - b * b * c * c - 18.0 * a * b * c * d + 27.0 * a * d * a * d + 4.0 * b * b * b * d);double vd = 18.0 * a * a;double vu = Math.Sqrt(vup);double v = vu / vd;double m = 0;if (Math.Abs(u+v)>= Math.Abs(u - v)){m = Math.Pow(u + v, 1.0/3.0);}else{m = Math.Pow(u - v, 1.0/3.0);}double n = 0;if (m!=0){double nu = b*b - 3.0*a* c;double nd = 9.0*a*a*m;n = nu / nd;}else{n = 0;}double t = -b / (3.0 * a);double aa = 1.0 / 2.0;double bb = Math.Sqrt(3.0) / 2.0;x1 = m + n + t;x2 = -aa * m - aa * n + t;x2i = bb * m - bb * n;x3 = -aa * m - aa * n + t;x3i = -bb * m + bb * n;}}
}

示例

例如： x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1000 x(x-1)(x-2)=1000 x(x−1)(x−2)=1000 展开 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1000 = 1000 x^3-3x^2+2x-1000=1000 x3−3x2+2x−1000=1000

a = 1 a=1 a=1
b = − 3 b=-3 b=−3
c = 2 c=2 c=2
d = − 1000 d=-1000 d=−1000
计算结果如下：

x1=11.03333321028806
x2=-4.01666660514403+8.631386417111793i
x3=-4.01666660514403-8.631386417111793i

一般的一元三次方程求解②

计算公式与步骤

a x 3 + b x 3 + c x + d = 0 ax^3+bx^3+cx+d =0 ax3+bx3+cx+d=0
① 计算 p p p和 q q q
p = 3 a c − b 2 3 a 2 p =\frac {3ac-b^2} {3a^2} p=3a23ac−b2
q = 27 a 2 d − 9 a b c + 2 b 3 27 a 3 q =\frac{27a^2d-9abc+2b^3} {27a^3} q=27a327a2d−9abc+2b3
② 计算 Δ \Delta Δ

Δ = q 2 4 + p 3 27 \Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} Δ=4q2+27p3

当 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0时有一个实根和两个共轭虚根
当 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0时有三个实根。如果 q = q = 0 q=q=0 q=q=0,三个实根都相等；否则三个实根中有两个相等。
当 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0时有三个不相等的实根

③ 计算 p 1 p_1 p1、 p 2 p_2 p2、 p 3 p_3 p3
p 1 = − b 3 a p_1 = -\frac{b}{3a} p1=−3ab
p 2 = − q 2 + Δ 3 p_2 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}} p2=3−2q+Δ
p 3 = − q 2 − Δ 3 p_3 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}} p3=3−2q−Δ
④ 计算根
其中：
w = − 1 + 3 i 2 w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} w=2−1+3 i
w 2 = − 1 − 3 i 2 w^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} w2=2−1−3 i
那么根为：

x 1 = p 1 + p 2 + p 3 x_1=p_1 +p_2+p_3 x1=p1+p2+p3
x 2 = p 1 + w p 2 + w 2 p 3 x_2=p_1 +wp_2+w^2p_3 x2=p1+wp2+w2p3
x 3 = p 1 + w 2 p 2 + w p 3 x_3=p_1 +w^2p_2+wp_3 x3=p1+w2p2+wp3

C#代码

using System;namespace SEUC
{class Program{static void Main(string[] args){double? x1 = 0;double? x2 = 0;double? x3 = 0;double? x2i = 0;double? x3i = 0;SolveEquation.unaryCubic(1,-3,2,-1000,out x1,out x2,out x2i,out x3,out x3i);Console.WriteLine($"x1={x1}");string symbol2 = x2i > 0 ? "+" : "";Console.WriteLine($"x2={x2}{symbol2}{x2i}i");string symbol3 = x3i > 0 ? "+" : "";Console.WriteLine($"x3={x3}{symbol3}{x3i}i");Console.ReadLine();}}/// <summary>/// 通用求根公式/// </summary>public class SolveEquation{/// <summary>/// 三元一次方程/// ax^3+bx^2+cx+d=0/// </summary>/// <param name="a"></param>/// <param name="b"></param>/// <param name="c"></param>/// <param name="d"></param>/// <param name="x1">第一个根</param>/// <param name="x2">第二个根实数部分</param>/// <param name="x2i">第二个根虚数部分</param>/// <param name="x3">第三个根实数部分</param>/// <param name="x3i">第三个根虚数部分</param>public static void unaryCubic(double a, double b, double c, double d, out double? x1, out double? x2, out double? x2i, out double? x3, out double? x3i){x1 = null;x2 = null;x3 = null;double pu = 3 * a * c - b * b;double pd = 3 * a * a;double p = pu / pd;double qu = 27 * a * a * d - 9 * a * b * c + 2 * b * b * b; ;double qd = 27 * a * a * a; ;double q = qu/qd;double p1 = - b / (3.0 * a);double delta = (q * q) / 4.0 + (p * p * p) / 27.0;double delta2 = Math.Sqrt(delta);//if (p2p3sqrt>0) //实根和两个共轭虚根。//{//    p2p3 = Math.Pow(p2p3sqrt, 0.5);//}//else if (p2p3sqrt == 0) //有三个实根//{//    p2p3 = 0;//}//else //有三个不相等的实根//{//    p2p3 = Math.Pow(p2p3sqrt,0.5);//}double p2Sqrt3 = -q / 2.0 + delta2;double p3Sqrt3 = -q / 2.0 - delta2;double p2 = Math.Pow(p2Sqrt3, 1.0/3.0);double p3 = Math.Pow(p3Sqrt3, 1.0/3.0);double w1 = -1.0 / 2.0;double w1i = Math.Sqrt(3.0) / 2.0;// 1-3-2sqrt 3double w2 = -1 / 2.0;double w2i = - Math.Sqrt(3.0) / 2.0;x1 = p1 + p2 + p3;x2 = p1 + w1 * p2 + w2 * p3;x2i =  w1i * p2 + w2i * p3;x3 = p1 + w2 * p2 + w1 * p3;x3i = w2i * p2 + w1i * p3;}}
}

示例

例如： x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1000 x(x-1)(x-2)=1000 x(x−1)(x−2)=1000 展开 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1000 = 1000 x^3-3x^2+2x-1000=1000 x3−3x2+2x−1000=1000

a = 1 a=1 a=1
b = − 3 b=-3 b=−3
c = 2 c=2 c=2
d = − 1000 d=-1000 d=−1000
计算结果如下：

x1=11.033333210284283
x2=-4.016666605142142+8.631386417115063i
x3=-4.016666605142142-8.631386417115063i

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