张量积型的Bernstein基函数

所谓张量积型，或者乘积型的二元空间是指，他的基函数可以由一元基函数通过张量积（乘积）得到.例如，我们考虑两个分量的次数分别不超过m和n次的二元多项式空间Pm,nP_{m,n}Pm,n,可以由两个一元多项式空间PmP_mPm和PnP_nPn的张量积得到，即Pm,n=Pm⨂PnP_{m,n} = P_m \bigotimes P_nPm,n=Pm⨂Pn.因此
a=span{(1,x,⋯,xm)⨂(1,y,⋯,ym)}=span{xiyj,i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n}\begin{aligned} a& = span{\left\{{(1,x,\cdots,x^m)\bigotimes(1,y,\cdots,y^m)}\right\}} \\ & = span\left\{x^iy^j,i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n\right\} \end{aligned} a=span{(1,x,⋯,xm)⨂(1,y,⋯,ym)}=span{xiyj,i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n}
Pm,nP_{m,n}Pm,n空间的基函数xiyj(i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n)x^iy^j(i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n)xiyj(i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n)对应的矩阵结构，

1xx2x3⋯yxyx2yx3y⋯y2xy2x2y2x3y2⋯y3xy3x2y3x3y3⋯⋮⋮⋮⋮\begin{matrix} 1 & x & x^2 & x^3 & \cdots \\ y & xy & x^2y & x^3y & \cdots \\ y^2 & xy^2 & x^2y^2 & x^3y^2 & \cdots \\ y^3 & xy^3 & x^2y^3 & x^3y^3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{matrix} 1yy2y3⋮xxyxy2xy3⋮x2x2yx2y2x2y3⋮x3x3yx3y2x3y3⋮⋯⋯⋯⋯
因此可以称为矩形上的多项式空间.
由上可知，通过两组Bernstein基函数Bim(u)B^m_i(u)Bim(u)和Bjn(v)B^n_j(v)Bjn(v)的张量积，就可以得到张量积型的二元Bernstein基函数

Bi,jm,n(u,v)=Bim(u)Bjn(v),i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,nB^{m,n}_{i,j} (u,v)= B^{m}_{i}(u)B^{n}_{j}(v),i = 0,1,\cdots,m,j = 0,1,\cdots,n Bi,jm,n(u,v)=Bim(u)Bjn(v),i=0,1,⋯,m,j=0,1,⋯,n

下图给了三个张量积型的双二次Bernstein基函数B0,02,2(u,v)、B1,02,2(u,v)B^{2,2}_{0,0} (u,v)、B^{2,2}_{1,0} (u,v)B0,02,2(u,v)、B1,02,2(u,v) 和B1,12,2(u,v)B^{2,2}_{1,1} (u,v)B1,12,2(u,v)在单位矩阵[0,1]×[0,1][0,1]\times[0,1][0,1]×[0,1]上的图像.

二、相应的matlab程序

function bernstein_surf_bf
%bf:  basis function基函数
%张量积型的bernstein基函数
a = 0;
b = 1;
N = 40;
M = 50;
hx = (b-a)/N;
hy = (b-a)/M;
x = (a:hx:b)';                   %x：[0,1]区间N等分得到的向量
y = (a:hy:b)';                   %y：[0,1]区间M等分得到的向量
n = 2;
m = 2;
z = f(x,y,n,m,1,1);
figure(1)
surf(x,y,z)
title('B^{2,2}_{1,1}');endfunction z = f(x,y,n,m,N,M)        %n:n次bernstein基函数；m：m次bernstein基函数
[x,y] =meshgrid(x,y);              %N：n次bernstein基函数中取B(n,N)
z = B(x,n,N).*B(y,m,M);
endfunction y = B(x,n,i)
y = k(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
endfunction y = k(n,i)
y1 = factorial(n);            %n的阶乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end