三轮全向底盘：运动学性能分析

速度分析

建立三轮底盘的速度物理学模型如图所示。

其中v1v_1v1、v2v_2v2、v3v_3v3分别为三个轮子的转速，ωωω为旋转角速度，vxv_xvx、vyv_yvy为车身坐标系中的速度即相对速度（由于底盘速度性能与在世界坐标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身坐标系与世界坐标系XXX,YYY方向重合），aaa为旋转中心到轮轴心的垂直距离，θθθ为轮轴与xxx轴夹角，θ=π/6θ=π/6θ=π/6。不难得出各轮速度的转换矩阵为：

记vT=[v1v2v3]\mathbf{v}^{T} = \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{bmatrix}vT=[v1v2v3]VT=[vxvyω]\mathbf{V}^{T} = \begin{bmatrix} v_{x} & v_{y} & \omega \\ \end{bmatrix}VT=[vxvyω]转换矩阵为R\mathbf{R}R则有

vT=RVT\mathbf{v}^{T} = \mathbf{{R\ }}\mathbf{V}^{T} vT=R VT

R−1vT=VT{\mathbf{R}^{- 1}\mathbf{v}}^{T} = \mathbf{\ }\mathbf{V}^{T} R−1vT= VT

即

所以

Vmax⁡=vx2+vy2=49(v12+v22+v32−v1v2−v1v3−v2v3)V_{\max} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}\left( v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} - v_{1}v_{2} - v_{1}v_{3} - v_{2}v_{3} \right)}Vmax=vx2+vy2=94(v12+v22+v32−v1v2−v1v3−v2v3)

其中{v1,v2,v3}∈[−vm,vm,]\{ v_{1},v_{2},v_{3}\} \in \left\lbrack - v_{m,}v_{m,} \right\rbrack{v1,v2,v3}∈[−vm,vm,]

又由不旋转的条件可知

ω=13a(v1+v2+v3)=0\omega = \frac{1}{3a}\left( v_{1} + v_{2} + v_{3} \right) = 0 ω=3a1(v1+v2+v3)=0

即

v1+v2+v3=0v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0 v1+v2+v3=0

由以上两式，构造非线性规划模型，用MATLAB求解得：

直线行走的最大速度

Vmax⁡=2vm3V_{\max} = \frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}} Vmax=32vm

各方向速度图像：

分析可知，三轮底盘当沿着一个轮轴方向前进时，速度可取到平动的最大值2vm3\frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}}32vm

加速度分析

假设启动阶段驱动电机处于恒转矩模式，即各轮驱动力恒定，建立三轮底盘的驱动力物理学模型如图所示。

其中f1f_1f1、f2f_2f2、f3f_3f3分别为三个轮子的驱动力，ααα为角加速度，axa_xax、aya_yay为车身坐标系中的加速度即相对加速度（由于底盘速度性能与在世界坐标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身坐标系与世界坐标系XXX,YYY方向重合），aaa为旋转中心到轮轴心的垂直距离，θθθ为轮轴与xxx轴夹角，θ=π/6θ=π/6θ=π/6。不难得出驱动力与加速度之间的转换矩阵为：

利用与上述相同的方法，可以得到加速度在各个方向上的极值，如下图：

因此，对三轮底盘来说，最大速度和最大加速度均发生在与一个轮轴重合的方向上。

非线性归划求极值MATLAB源码