差分与差分方程

差分与差分方程的基本概念

差分：设函数 y ( t ) y(t) y(t) 的定义域为非负整数集 N N N ，用 y t y_{t} yt 代替 y ( t ) y(t) y(t) 记号， y t y_{t} yt 在 t t t 处的差分为：

一阶差分： Δ y t = y t + 1 − y t \Delta y_{t}=y_{{t+1}}-y_{t} Δyt=yt+1−yt
二阶差分： Δ 2 y t = Δ ( Δ y t ) = ( y t + 2 − y t + 1 ) − ( y t 1 ) = y t + 2 − 2 y t + 1 + y t \Delta^{2} y_{t}=\Delta(\Delta y_{t})=(y_{t+2}-y_{t+1})-(y_{t_{1}})=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_{t} Δ2yt=Δ(Δyt)=(yt+2−yt+1)−(yt1)=yt+2−2yt+1+yt
n n n 阶差分： Δ n y t = ∑ i = 0 n ( − 1 ) C n i y t + n − i \Delta^{n}y_{t}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)C_{n}^iy_{t+n-i} Δnyt=i=0∑n(−1)Cniyt+n−i

差分的四则运算：和微分的运算类似：

Δ ( c y t ) = c Δ y t \Delta(cy_{t})=c\Delta y_{t} Δ(cyt)=cΔyt
Δ ( y t ± z t ) = Δ y t ± Δ z t \Delta(y_{t}\pm z_{t})=\Delta y_{t} \pm \Delta z_{t} Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt
Δ ( y t ⋅ z t ) = z t + 1 Δ y t + y t Δ z t \Delta(y_{t}\cdot z_{t})=z_{{t+1}}\Delta y_{t}+y_{t}\Delta z_{t} Δ(yt⋅zt)=zt+1Δyt+ytΔzt 或者 = y t + 1 Δ z t + z t Δ y t =y_{{t+1}}\Delta z_{t}+z_{t}\Delta y_{t} =yt+1Δzt+ztΔyt
Δ ( y t z t ) = z t Δ y t − y t Δ z t z t + 1 z t \Delta(\frac{y_{t}}{z_{t}})=\frac{z_{t}\Delta y_{t}-y_{t}\Delta z_{t}}{z_{t+1}z_{t}} Δ(ztyt)=zt+1ztztΔyt−ytΔzt 或者 = z t + 1 Δ y t − y t + 1 Δ z t z t + 1 z t =\frac{z_{t+1} \Delta y_{t}-y_{t+1} \Delta z_{t}}{z_{t+1}z_{t}} =zt+1ztzt+1Δyt−yt+1Δzt
常数的差分是 0 0 0
Δ n + 1 P n ( x ) = 0 \Delta^{n+1}P_{n}(x)=0 Δn+1Pn(x)=0 ，其中 P n ( x ) P_{n}(x) Pn(x) 为某一 n n n 次多项式

差分方程：设 y t y_{t} yt 为未知函数，则下列两类方程都称为差分方程：

H ( t , y t , Δ y t , ⋯ , Δ n y t ) = 0 H(t,\,y_{t},\,\Delta y_{t},\,\cdots,\,\Delta^{n}y_{t})=0 H(t,yt,Δyt,⋯,Δnyt)=0
F ( t , y t , y t + 1 , ⋯ , y t + n ) = 0 F(t,\,y_{t},\,y_{t+1},\,\cdots,\,y_{t+n})=0 F(t,yt,yt+1,⋯,yt+n)=0

一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程 ：同样的，根据自由项是否为 0 ，分为：

齐次： y t + 1 + p y t = 0 y_{t+1}+py_{t}=0 yt+1+pyt=0
非齐次： y t + 1 + p y t = f ( t ) y_{t+1}+py_{t}=f(t) yt+1+pyt=f(t)

① f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0：即一阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为：
λ t + 1 + p λ t = 0 ⇒ λ − p = 0 ⇒ λ = − p \lambda^{t+1}+p\lambda^t=0 \Rightarrow \lambda-p=0 \Rightarrow \lambda=-p λt+1+pλt=0⇒λ−p=0⇒λ=−p
显然这是一个等比数列，可以得到 y t = ( − p ) t y_t=(-p)^t yt=(−p)t 是满足条件的，因此通解为：
y t = c ( − p ) t y_t=c(-p)^t yt=c(−p)t
② f ( t ) = P m ( t ) f(t)=P_m(t) f(t)=Pm(t) ：即自由项是一个 m m m 次的多项式，此时要讨论求 y t + 1 + p y t = P m ( t ) y_{t+1}+py_t=P_m(t) yt+1+pyt=Pm(t) 的解。令 y t + 1 = y t + Δ y t y_{t+1}=y_t+\Delta y_t yt+1=yt+Δyt ，则：
Δ y t + ( p + 1 ) y t = P m ( t ) \Delta y_t + (p+1)y_t = P_m(t) Δyt+(p+1)yt=Pm(t)
若 y t y_t yt 是一个 m m m 次的多项式，则 Δ y t \Delta y_t Δyt 则是一个 m − 1 m-1 m−1 次的多项式，参考微分方程的经验，我们可以假设特解形如 y ∗ = t k Q m ( t ) y^*=t^kQ_m(t) y∗=tkQm(t) ，其中：
k = { 0 当 − p ≠ 1 ，即 1 不是特征根时 1 当 − p = 1 ，即 1 是特征根时 k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当 -p\not=1，即 1不是特征根时 \\ 1 & 当 -p=1，即 1是特征根时 \\ \end{array} \right. k={01当−p=1，即1不是特征根时当−p=1，即1是特征根时
代入原方程以后，逐一比较 Q m ( t ) Q_m(t) Qm(t) 的系数，就可以得到一个特解。

例：求方程 2 y t + 1 + y t = t 2 2y_{t+1}+y_t=t^2 2yt+1+yt=t2 的通解

将方程改写为 y t + 1 + 1 2 y t = 1 2 t 2 y_{t+1}+\frac{1}{2}y_t=\frac{1}{2}t^2 yt+1+21yt=21t2 ，可以得到特征根为 λ = − 1 2 \lambda=-\frac{1}{2} λ=−21 ，故对应的齐次方程的通解为：
Y = c ( − 1 2 ) t Y=c(-\frac{1}{2})^t Y=c(−21)t
假设其中一个特解形如 y ∗ = A t 2 + B t + C y^*=At^2+Bt+C y∗=At2+Bt+C ，代入原方程得到：
3 A t 2 + ( 4 A + 3 B ) t + 2 A + 2 B + 3 C = t 2 3At^2+(4A+3B)t+2A+2B+3C=t^2 3At2+(4A+3B)t+2A+2B+3C=t2
解得 A = 1 3 A=\frac{1}{3} A=31 ， B = − 4 9 B=-\frac{4}{9} B=−94 ， C = 2 27 C=\frac{2}{27} C=272 ，因此特解为 y ∗ = 1 3 t 2 − 4 9 t + 2 27 y^*=\frac{1}{3}t^2-\frac{4}{9}t+\frac{2}{27} y∗=31t2−94t+272 ，原方程的通解为：
y t = Y + y ∗ = c ( − 1 2 ) t + 1 3 t 2 − 4 9 t + 2 27 y_t=Y+y^*=c(-\frac{1}{2})^t+\frac{1}{3}t^2-\frac{4}{9}t+\frac{2}{27} yt=Y+y∗=c(−21)t+31t2−94t+272
③ f ( t ) = P m ( t ) a t f(t)=P_m(t)a^t f(t)=Pm(t)at ，其中 a ≠ 0 , 1 a\not=0,\,1 a=0,1 ，此时要讨论求 y t + 1 + p y t = P m ( t ) a t y_{t+1}+py_t=P_m(t)a^t yt+1+pyt=Pm(t)at 的解，可设特解为 y ∗ = t k Q m ( t ) a t y^*=t^kQ_m(t)a^t y∗=tkQm(t)at ，其中：
k = { 0 当 − p ≠ a ，即 a 不是特征根时 1 当 − p = a ，即 a 是特征根时 k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当 -p\not=a，即a不是特征根时 \\ 1 & 当 -p=a，即a是特征根时 \\ \end{array} \right. k={01当−p=a，即a不是特征根时当−p=a，即a是特征根时
例：求差分方程 y t + 1 + y t = t e t y_{t+1}+y_t=te^t yt+1+yt=tet 的通解

特征方程 λ + 1 = 0 \lambda+1=0 λ+1=0 ，得到特征根 λ = − 1 \lambda=-1 λ=−1 ，对应的齐次方程的通解为：
Y = c ( − 1 ) t Y=c(-1)^t Y=c(−1)t
假设特解为 y ∗ = ( A t + B ) e t y^*=(At+B)e^t y∗=(At+B)et ，代入原方程得到：
A ( e + 1 ) t e t + ( A e + B e + B ) e t = t e t A(e+1)te^t+(Ae+Be+B)e^t=te^t A(e+1)tet+(Ae+Be+B)et=tet
解得 A = 1 e + 1 A=\frac{1}{e+1} A=e+11 ， B = − e ( e + 1 ) 2 B=-\frac{e}{(e+1)^2} B=−(e+1)2e ，因此特解为 y ∗ = ( 1 e + 1 t − e ( e + 1 ) 2 ) e t y^*=(\frac{1}{e+1}t-\frac{e}{(e+1)^2})e^t y∗=(e+11t−(e+1)2e)et ，原方程的通解为：
y t = Y + y ∗ = c ( − 1 ) 2 + ( 1 e + 1 t − e ( e + 1 ) 2 ) e t y_t=Y+y^*=c(-1)^2+(\frac{1}{e+1}t-\frac{e}{(e+1)^2})e^t yt=Y+y∗=c(−1)2+(e+11t−(e+1)2e)et

二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程 ：同样的，根据自由项是否为 0 ，分为：

齐次： y t + 2 + p y t + 1 + q y t = 0 y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=0 yt+2+pyt+1+qyt=0
非齐次： y t + 2 + p y t + 1 + q y t = f ( t ) y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=f(t) yt+2+pyt+1+qyt=f(t)

① f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0 ，即二阶常系数齐次线性差分方程，特征方程为：
λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0
(1) 若存在两个不相等的实根 λ 1 \lambda_1 λ1 和 λ 2 \lambda_2 λ2 ，那么此时通解为：
y t = c 1 λ 1 t + c 2 λ 2 t y_t=c_1\lambda_1^t+c_2\lambda_2^t yt=c1λ1t+c2λ2t
(2) 若存在两个相同的实根 λ 1 = λ 2 \lambda_1=\lambda_2 λ1=λ2 ，那么此时通解为：
y t = ( c 1 + c 2 t ) λ t y_t=(c_1+c_2t)\lambda^t yt=(c1+c2t)λt
(3) 若存在两个复根 λ = α ± β i \lambda=\alpha\pm\beta i λ=α±βi ，我们转换为三角函数的形式：
α ± β i = r cos ⁡ θ ± i r sin ⁡ θ r = α 2 + β 2 , cos ⁡ θ = α r , sin ⁡ θ = β r \alpha\pm\beta i=r\cos\theta\pm ir\sin\theta \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} α±βi=rcosθ±irsinθr=α2+β2 ,cosθ=rα,sinθ=rβ
由 de Moivre 公式得，两个特解为：
( α ± β i ) t = ( r cos ⁡ θ ± i r sin ⁡ θ ) t = r t cos ⁡ t θ ± i r t sin ⁡ t θ (\alpha\pm\beta i)^t=(r\cos\theta\pm ir\sin\theta)^t=r^t\cos t\theta\pm ir^t\sin t\theta (α±βi)t=(rcosθ±irsinθ)t=rtcostθ±irtsintθ
此时通解为：
y t = ( c 1 cos ⁡ t θ + c 2 sin ⁡ t θ ) r t r = α 2 + β 2 , cos ⁡ θ = α r , sin ⁡ θ = β r y_t=(c_1\cos t\theta+c_2\sin t\theta)r^t \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} yt=(c1costθ+c2sintθ)rtr=α2+β2 ,cosθ=rα,sinθ=rβ
总结：
特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 的根差分方程 y t + 2 + p y t + 1 + q y t = 0 的通解不相等的实根 λ 1 ≠ λ 2 y t = c 1 λ 1 t + c 2 λ 2 t 相等的实根 λ 1 = λ 2 y t = ( c 1 + c 2 t ) λ t 一对共轭复根 λ 1 , 2 = α ± i β , β > 0 y t = ( c 1 cos ⁡ t θ + c 2 sin ⁡ t θ ) r t r = α 2 + β 2 , cos ⁡ θ = α r , sin ⁡ θ = β r \begin{array}{l|l} \hline 特征方程\,\lambda^2+p\lambda+q=0\,的根 & 差分方程\, y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=0\, 的通解 \\ \hline 不相等的实根\,\lambda_1\not=\lambda_2 & y_t=c_1\lambda_1^t+c_2\lambda_2^t \\ 相等的实根\,\lambda_1=\lambda_2 & y_t=(c_1+c_2t)\lambda^t \\ 一对共轭复根 \lambda_{1,\,2}=\alpha\pm i\beta,\,\beta\gt 0 & \begin{array}{l} y_t=(c_1\cos t\theta+c_2\sin t\theta)r^t \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} \end{array} \\ \hline \end{array} 特征方程λ2+pλ+q=0的根不相等的实根λ1=λ2相等的实根λ1=λ2一对共轭复根λ1,2=α±iβ,β>0差分方程yt+2+pyt+1+qyt=0的通解yt=c1λ1t+c2λ2tyt=(c1+c2t)λtyt=(c1costθ+c2sintθ)rtr=α2+β2 ,cosθ=rα,sinθ=rβ
例：求 y t + 2 + y t + 1 + y t = 0 y_{t+2}+y_{t+1}+y_t=0 yt+2+yt+1+yt=0 的通解

特征方程 λ 2 + λ + 1 = 0 \lambda^2+\lambda+1=0 λ2+λ+1=0 ，解得特征根 λ = − 1 2 ± 3 2 i \lambda=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i λ=−21±23 i ；此时可知 r = 1 r=1 r=1 ， θ = 2 3 π \theta=\frac{2}{3}\pi θ=32π ，故通解为：
y t = c 1 cos ⁡ 2 3 π t + c 2 sin ⁡ 2 3 π t y_t=c_1\cos\frac{2}{3}\pi t+c_2\sin\frac{2}{3}\pi t yt=c1cos32πt+c2sin32πt
② f ( t ) = P m ( t ) f(t)=P_m(t) f(t)=Pm(t) ：即自由项是一个 m m m 次的多项式，此时可设特解为 y ∗ = t k Q m ( t ) y^*=t^kQ_m(t) y∗=tkQm(t) ，其中：
k = { 0 当 1 + p + q ≠ 0 , 即 1 不是特征根时 1 当 1 + p + q = 0 而 2 + p ≠ 0 , 即 1 是单重特征根时 2 当 1 + p + q = 0 且 2 + p = 0 , 即 1 是双重特征根时 k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\,1+p+q\not=0,\,即\,1\,不是特征根时 \\ 1 & 当\,1+p+q=0\,而\,2+p\not=0,\,即\,1\,是单重特征根时 \\ 2 & 当\,1+p+q=0\,且\,2+p=0,\,即\,1\,是双重特征根时 \\ \end{array} \right. k=⎩ ⎨ ⎧012当1+p+q=0,即1不是特征根时当1+p+q=0而2+p=0,即1是单重特征根时当1+p+q=0且2+p=0,即1是双重特征根时
例：求 y t + 2 + 2 y t + 1 − 3 y t = t y_{t+2}+2y_{t+1}-3y_{t}=t yt+2+2yt+1−3yt=t 的通解

特征方程 λ 2 + 2 λ − 3 = 0 \lambda^2+2\lambda-3=0 λ2+2λ−3=0 ，解得 λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1 ， λ 2 = − 3 \lambda_2=-3 λ2=−3 ，因此对应的齐次方程的通解为：
Y = c 1 + c 2 ( − 3 ) t Y=c_1+c_2(-3)^t Y=c1+c2(−3)t
设特解为 y ∗ = t ( A t + B ) y^*=t(At+B) y∗=t(At+B) ，代入得到：
8 A t + 6 A + 4 B = t ⇒ A = 1 8 , B = − 3 16 8At+6A+4B=t\Rightarrow A=\frac{1}{8},\,B=-\frac{3}{16} 8At+6A+4B=t⇒A=81,B=−163
因此特解为 y ∗ = t ( 1 8 t − 3 16 ) y^*=t(\frac{1}{8}t-\frac{3}{16}) y∗=t(81t−163) ，原方程的通解为：
y t = Y + y ∗ = c 1 + c 2 ( − 3 ) t + t ( 1 8 t − 3 16 ) y_t=Y+y^*=c_1+c_2(-3)^t+t(\frac{1}{8}t-\frac{3}{16}) yt=Y+y∗=c1+c2(−3)t+t(81t−163)
③ f ( t ) = P m ( t ) a t f(t)=P_m(t)a^t f(t)=Pm(t)at ，其中 a ≠ 0 , 1 a\not=0,\,1 a=0,1 ，可设特解为 y ∗ = t k Q m ( t ) a t y^*=t^kQ_m(t)a^t y∗=tkQm(t)at ，其中：
k = { 0 当 a 2 + p a + q ≠ 0 , 即 a 不是特征根时 1 当 a 2 + p a + q = 0 而 2 a + p ≠ 0 , 即 a 是单重特征根时 2 当 a 2 + p a + q = 0 且 2 a + p = 0 , 即 a 是双重特征根时 k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\,a^2+pa+q\not=0,\,即\,a\,不是特征根时 \\ 1 & 当\,a^2+pa+q=0\,而\,2a+p\not=0,\,即\,a\,是单重特征根时 \\ 2 & 当\,a^2+pa+q=0\,且\,2a+p=0,\,即\,a\,是双重特征根时 \\ \end{array} \right. k=⎩ ⎨ ⎧012当a2+pa+q=0,即a不是特征根时当a2+pa+q=0而2a+p=0,即a是单重特征根时当a2+pa+q=0且2a+p=0,即a是双重特征根时
例：求 y t + 2 − 3 y t + 1 + 2 y t = 2 + t 3 t y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=2+t3^t yt+2−3yt+1+2yt=2+t3t 的特解

要把这个方程看成三部分，分别对应上边的 ①、② 和 ③：
{ y t + 2 − 3 y t + 1 + 2 y t = 0 → Y y t + 2 − 3 y t + 1 + 2 y t = 2 → y ∗ ( 1 ) y t + 2 − 3 y t + 1 + 2 y t = t 3 t → y ∗ ( 2 ) \left\{\begin{array}{l} y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=0 \to Y \\ y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=2 \to y^{*(1)} \\ y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=t3^t \to y^{*(2)} \\ \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧yt+2−3yt+1+2yt=0→Yyt+2−3yt+1+2yt=2→y∗(1)yt+2−3yt+1+2yt=t3t→y∗(2)
方程一：特征方程为 λ 2 − 3 λ + 2 = 0 \lambda^2-3\lambda+2=0 λ2−3λ+2=0 ，解得 λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ1=1 ， λ 2 = 2 \lambda_2=2 λ2=2 ，因此对应的齐次方程的通解为：
Y = c 1 + c 2 2 t Y=c_1+c_22^t Y=c1+c22t
方程二：设特解 y ∗ ( 1 ) = A t y^{*(1)}=At y∗(1)=At ，代入得到：
− A = 2 ⇒ A = − 2 ⇒ y ∗ ( 1 ) = − 2 t -A=2\Rightarrow A=-2 \Rightarrow y^{*(1)}=-2t −A=2⇒A=−2⇒y∗(1)=−2t
方程三：设特解 y ∗ ( 2 ) = ( B t + C ) 3 t y^{*(2)}=(Bt+C)3^t y∗(2)=(Bt+C)3t ，代入得到：
( 2 B t + 9 B + 2 C ) 3 t = t 3 t ⇒ B = 1 2 , C = − 9 4 ⇒ y ∗ ( 2 ) = ( 1 2 t − 9 4 ) 3 t (2Bt+9B+2C)3^t=t3^t \Rightarrow B=\frac{1}{2},\,C=-\frac{9}{4} \Rightarrow y^{*(2)}=(\frac{1}{2}t-\frac{9}{4})3^t (2Bt+9B+2C)3t=t3t⇒B=21,C=−49⇒y∗(2)=(21t−49)3t
因此，原方程的通解为：
y t = Y + y ∗ ( 1 ) + y ∗ ( 2 ) = c 1 + c 2 2 t − 2 t + ( 1 2 t − 9 4 ) 3 t y_t=Y+y^{*(1)}+y^{*(2)}=c_1+c_22^t-2t+(\frac{1}{2}t-\frac{9}{4})3^t yt=Y+y∗(1)+y∗(2)=c1+c22t−2t+(21t−49)3t

常微分方程-差分方程相关推荐

高等数学第四章微分方程和差分方程
文章目录前言一.学习要求二.知识网络总结前言要学好高等数学,总离不开解题.在分享数学价值带来的欣喜的同时,博主也清楚地知道,限于博主的水平,文章难免存在不妥之处,恳请广大读者批评指正! 提 ...
c语言递归求差分方程,递归方程组解的渐进阶的求法——差分方程法
T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+-+ ckT(n-k)+f(n),n≥k (6.18) 的递归方程.其中ci (i=l,2,-,k)为实常数,且ck≠0.它可改写为一个线性常系数k阶非齐 ...
常微分方程数值解：欧拉公式
算法原理对于常微分方程初值问题在求解区间[a,b]上作等距分割的剖分,步长,记.用数值微商的方法,即用差商近似微商数值求解常微分方程. 用向前差商近似做出y(x)的在x=x0处的一阶向前差商式: ...
隐形Euler方法的java程序_常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法
上一节讲了常微分方程的三种离散化方法:差商近似导数.数值积分.Taylor 多项式近似. 目录 §2 欧拉(Euler)方法 2.1 向前 Euler 公式.向后 Euler 公式 ...
美赛整理之带参数的常微分方程拟合问题研究
带参数的常微分方程拟合问题研究一.问题的背景: 二.提出一个较为简单,但是很有代表性的一个问题: 三.求解的基本原理: 四.求解的基本算法: 1.利用matlabmatlabmatlab遗传算法求解 ...
二阶常微分方程(ODE)的打靶法(Shooting method)，有限差分基础(python)
第四十九篇二阶常微分方程的打靶法边界值问题当我们试图用自变量的不同值所提供的信息来解二阶或更高阶的常微分方程时,我们必须使用与前面描述的不同的数值方法. 前面提到的初值问题经常涉及到" ...
二阶边值问题的数值解matlab,《二阶常微分方程边值问题的数值解法》-毕业论文.doc...
w 摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法.对线性边值问题,我们总结了两类常用的数值方法,即打靶法和有限差分方法,对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对 ...
差商近似1阶导数matlab,常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor 多项式近似...
常微分方程的解法求解系列博文: 常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数.数值积分方法.Taylor 多项式近似常微分方程的解法 (二): 欧拉(Euler)方法常微分方程的 ...
[常微分方程的数值解法系列二] 欧拉法
欧拉法简介几何意义证明泰勒展开近似求导近似积分近似几种欧拉方式向前欧拉公式向后欧拉公式梯形公式中点公式截断误差求解过程向前欧拉公式例子向前欧拉公式在惯性导航以及VIO ...

常微分方程-差分方程

文章目录

差分与差分方程