随机过程基础3--宽平稳随机过程的谱分析

本节关于随机过程的谱分析,当然是针对宽平稳随机过程
1,什么是谱?
将复杂对象分解成几个方面,使得我们可以从几个方面尽可能简单地观察这个复杂对象的某些特征.
例如光谱是按照光的波长分解.

对于随机信号来说,和确定性信号一样,是按照频率进行分解的.

我们先来回顾一下,确定性信号的频谱分析.

首先我们从确定性周期信号开始研究.首先了解了傅里叶级数,展开式如上,其中wr表示的就是所说的基频,=2pi/T,并且其中参数ak的表达式如上.
从ak表达式我们可以看出,傅里叶级数干的事情其实就是将-T/2到T/2的区间展开成各级数相加.用来近似函数,级数越多,近似越精确.

那么对于非周期函数,我们同样能进行傅里叶级数展开,不过只是在-T/2到T/2的区间上展开,在其他地方,进行的是周期延拓.

这里有一个注意点,

我们选择的展开基在-无穷到无穷上是正交的.

根据这个函数的正交性,我们得以推导出ak的公式.也就证明了傅里叶变换的展开基是正交的

以上是从三角级数到指数级数的转化.这样我们根据正交性可以求出每一个ak.(由于正交所以,左右两边同时乘以基函数,就得到了ak)

第二步,将傅里叶级数扩展,使之不止在一个周期内展开

这里的思想就是T趋于无穷,但是当我们把傅里叶级数写出来的时候,马上发现2pi/T是趋于0的.观察上面的式子,可以看到这个2pi/T趋近于0但是以k倍慢慢相加,知道k趋于无穷,很容易让我们想到积分.

那么一个级数如何写出积分呢?式子如上.我们发现将2kpi/T当成xk,我们缺一个xk的无穷小变化量.精妙之处在于,我们给他补上这个变化量.2pi/T

因为本来就有一个1/T,所以只需要在前面加一个1/2pi.

这样我们就清楚的推导出了傅里叶反变换.在傅里叶级数中的k,我们这里写成2kpi/T为w就是积分量.
那么很明显,傅里叶正变换是,

这里将积分上限改成了无穷,因为T趋于无穷.
这里,我们也可以看到,傅里叶变换求到的实际上就是展开项的系数.

第三步,我们推导随机信号的傅里叶变换
问题在于,当T趋近于无穷的时候,有问题

当T趋近于无穷时,积分是否收敛.对于确定性信号,有明确的规定.

就是x(t)绝对可积,时L1函数.
当然确定性函数中有拓广的情况,如cos(x)和sin(x)不满足绝对可积,但是我们得到了傅里叶变换.作法是引入冲激函数.而绝大多数的确定性信号都是满足绝对可积条件的.
但是随机信号不一定,随机信号我们要求平稳,那么平稳一般都不会是绝对可积的样子,因为自相关函数要求与坐标轴位置是无关的.

我们之前的自相关函数,是余弦或电报信号.衰减几乎是不可能的.注意并不是余弦或电报本身作为自相关函数,而是他们的自相关函数.就要求坐标轴的两点只要间距一样,自相关函数就一样.衰减函数,很难满足自相关函数定义.

那么如何解决呢?
一般随机过程的自相关函数一般都是衰减的.

如上图的函数,并不是级数因为使用了w,是积分中的部分,也不是积分,因为积分上下限任然是T/2,并且经过了平方,在物理上,经过模的平方就代表了能量,而不是简单的振幅,电压什么东西.这样的操作是有损操作,因为相位信息都没有了.
这里注意x表示的是随机变量了.在这里表示为一个函数(变量应该不是关于t的).而不是一个确定的数.这样得到的结果取期望,得到均值消除随机性.最后对时间归一化,并取极限.

下面对公式进行化简

其中t和s符号是反的,因为共轭的关系.并且只有x有随机性.

并且看到了,自相关函数的定义,对于宽平稳还可以简化.并且自相关函数还是复函数.
继续简化需要用到积分换元,积分还原有三件事,
(1),替换旧元
(2),处理d的部分
(3),改变积分区域

这里我们需要进行换元,第一步替换旧元,并且两个元必须换成两个元,所以才需要v,这样我们用雅各布矩阵的行列式来算出dtds=1/2dudv,最后一步改变积分区域,这里线性变换(u=t-s,v)是不可能将直线变弯的,所以知道四个顶点,我们就可以画出了新的积分区域,是原来积分面积的两倍,所以刚好与1/2抵消.

化简如上,第一行在于写积分区间比较困难,我们先确定u,u在-T到0上变化,这时候v对应的值就在-T-u到T+u之间变化,为什么?因为四条边界的直线方程写出来,将u带入就可以得到了.如左上角直线为y=x+T,u代入得y=u+T这样就得到了第一部分得积分上限.
第二行难道在于看积分区间能否合并,在第一个区间上,u为负数,积分区间的u从-u变为u(忽略前面的T),当u为正数时,积分区间的u从u变成-u,刚好相反,这样就可以合并为绝对值.

然后进行积分,在这一步,T就可以趋近无穷了,因为随机过程替换成了相关函数,相关函数一般是衰减的.发现,这不就是自相关函数的傅里叶变换吗?
这样回过头来,看是什么东西等于自相关函数的傅里叶变换,就是功率谱密度.
记为:

简称PSD.
那么有许多需要解释的事情.
首先和功率有什么关系?

从单位来看,x的单位可以是I,t的时间就是t,外面除一个t,所以得到I方t,为功率.R隐含为1.

写出傅里叶反变换,取u为0,就得到了式子=R(0)

以上可以看到,功率谱密度延频率轴积分,得到了R(0),而R(0)在随机过程中代表的意思是,E(x(t)的平方)这个东西就表示功率.所以说,功率谱密度积分上频率等于功率,那么功率谱密度每一个点的单位就是功率/频率=功率×时间,会发现这就是个能量.
那么谱是什么意思?
(1)分解和研究的对象就是功率(2)延什么轴分解,就是频率.
就是将功率延频率分解,那么功率谱密度的每一个点就是每个频点的能量.
另外只要积分是个常数,就可以说是密度,所以R(0)是常数.这样功率谱密度就完全解释的清楚.

从物理意义上看,可以看到功率谱密度是>=0的,因为在定义时取了绝对值还有平方,那么从数学方面,如何表示呢?

之前就知道,我们在一维随机过程的例子都是宽平稳,那么自相关函数正定,上节课有定理,正定函数的傅里叶变换>=0.也证明了功率谱密度>=0.

所以物理和数学达成了统一.
至此我们得到了随机过程中以相关函数傅里叶变换为基础的谱分析方法,不同于确定性信号的频谱分析方法.这个频谱分析方法就是将信号分解成各个频率,纵坐标为幅度.所以频谱做积分得到的是原信号.

那么功率谱密度有什么性质呢?
功率谱密度与频谱最大的不同就是功率谱密度为二阶量

其中,线性变成了如上关系.在x+y的线性中,通常不等于x,y分别功率谱密度相加,因为除了平方项,还有2xy,需要让他们=0才相等.

如果为实信号,那么功率谱密度为偶函数.并且在信号与系统中,实信号的频谱一定是对称的.也就是偶函数.因为在物理上实信号没有负频率.其频率负轴是频率正轴的镜像.而复信号在负轴上也会有信息.现实生活中是没有复信号的,所以直接采样是得不到复信号的,复信号是通过变换得到的.

证明如下:

这里的欧拉公式应该是-jsin,不过不影响最后的结果.sinx为奇函数所以在关于原点对称的区间上积分会得到0,而最后得到了一个偶函数.注意这里前提是实信号.其负轴没有意义.

证明这个不等式

由于自相关函数是正定的(这里是函数正定),所以可以写成如上形式.由此只要让f1=3.f2=-4,f3=1解方程就可以得到对应的x,y,z的值.但是这是三个二次方程,解出来比较麻烦.

所以下面介绍第二种方法.

这里就类似于f(x)与f(1)的关系.功率谱密度的傅里叶逆变换是可以得到自相关函数整体的,不过也可以指定其中的某一个点来求.

首先,功率谱密度是大于等于0的,并且自相关函数的复数部分在傅里叶反变换中=0,这样就只剩下cos部分,最后化简得结果非负.并且这里可以看出,积分是不符合线性的.

对于一个线性时不变系统来说,信号通过一个系统,结果就等于系统冲激响应与信号的卷积.如果是时变系统,那么h(t-tao)就变成了h(t,tao).可以很自然想到,线性时不变系统与平稳直接有着某种联系.

并且在频域上等于系统函数与傅里叶变换的乘积.
对于随机函数,在时域上,与确定性信号公式相同,所以就有

这里有个知识,如何来确认多重卷积.
第一,所有被积式子的自变量都加起来,是否可以将积分变量都消掉.如一重为t-tao+tao,最后得到t
第二,第一条剩下的东西,就是卷积函数取值的位置(y(t))

其中x,y带有随机性.我们用上面的判断卷积的方法,发现这并不是一个卷积,但是只要把最后一项h(s-r)的共轭改成h(r-s)就可以了.
由此,构造出一个函数

这样就符合了卷积的定义.

由此得到重要结论,一个宽平稳随机过程,经过线性时不变系统,结果任然是一个宽平稳随机过程.

在频域上,

这里,对于一阶量,经过系统,乘一个系统函数,而随机信号是自相关函数,是二阶量,所以乘以系统函数模的平方,也很好理解.

上图红框就是这一部分最重要的两个知识.

对于柯西不等式可以简化为如上形式,这里第一次提到互相关函数.

那么证明将无穷写为从a到b也是成立的.另外给我们的启示为,原函数与其傅里叶变换可以相互表示.
就是说无穷表示在整个频域轴上积分,那么a,b表示对原信号加了一个限制,也可以说信号过了一个带通滤波器,那么滤波器是一个线性系统.将x,y分别加上滤波器.
就可以写成

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