codeforces 645F Cowslip Collections

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cf645F

题意

给定长度为n的序列，每次询问向序列中加入一个数，询问序列中所以k元组的gcd之和。

题解

记S表示所以k元组的集合，我们要求的就是

∑s∈Sgcd(s)=∑s∈S∑d|gcd(s)ϕ(d)=∑dϕ(d)∗∑s∈S[gcd(s)=d]=∑dϕ(d)∗Cks[d]

\sum_{s\in S}gcd(s)=\sum_{s \in S}\sum_{d|gcd(s)}\phi(d) \\=\sum_d\phi(d)*\sum_{s \in S}[gcd(s)=d] \\=\sum_d\phi(d)*C_{s[d]}^k
其中 ϕ(d)\phi(d)表示d的欧拉函数值， s[d]s[d]表示含有因子d的数的个数。我们可以预处理出这两个值。
先处理出初始答案，对于每一次询问我们只需要 O(因子个数)O(因子个数)的时间就能动态更新答案。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mo=1000000007,N=1000010;
int n,m,k,ans,a[N],s[N];
int p[N],pn,f[N],phi[N],inv[N],fac[N];int power(long long x,int y){int tmp=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)if(y&1) tmp=tmp*x%mo;return tmp;
}
void init(){phi[1]=1;for(int i=2;i<=1000000;i++){if(!f[i]) p[++pn]=i,phi[i]=i-1;for(int j=1;j<=pn&&p[j]*i<=1000000;j++){f[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0){phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];}}fac[0]=1;for(int i=1;i<=1000000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;inv[1000000]=power(fac[1000000],mo-2);for(int i=999999;~i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mo;
}
long long C(int n,int m){if(n<m) return 0;return 1ll*fac[n]*inv[n-m]%mo*inv[m]%mo;
}
void calc(int x){ans=(ans-phi[x]*C(s[x],k))%mo;s[x]++;ans=(ans+phi[x]*C(s[x],k))%mo;if(ans<0) ans+=mo;
}
int main(){scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j*j<=a[i];j++)if(a[i]%j==0){s[j]++;if(j*j!=a[i]) s[a[i]/j]++;}init();for(int i=1;i<=1000000;i++)ans=(ans+phi[i]*C(s[i],k))%mo;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&a[1]);for(int j=1;j*j<=a[1];j++)if(a[1]%j==0){calc(j);if(j*j!=a[1]) calc(a[1]/j);}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

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