概念

算法的执行时间与数据规模之间的增长关系
时间复杂度不是代码的执行时间，而是一种随着数据规模不断增长的一种变化趋势
假设一行代码的执行速度是恒定值10，那么代码执行时间time和代码执行次数x公式为：

即：T(n)=O(f(n))
所以：“算法的执行时间与数据规模之间的增长关系”可以等价的看作为“算法的执行次数与数据规模之间的增长关系”

判断时间复杂度准则

<1>只关注循环执行次数最多的一段代码

通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级

 int cal(int n) {int sum = 0;   //执行1次for (int i=1; i <= n; ++i) {       //执行n次sum = sum + i;      //执行n次}return sum;  //执行1次}

套用公式为：T（n）=O f（1+2n+1） =>忽略常量1，系数2 转化为T（n）=O f（n）
最后这段代码的时间复杂度为：O（n）

<2>加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

int cal(int n) {int sum_1 = 0;  //1次int p = 1;     //1次for (; p < 100; ++p) { //100次sum_1 = sum_1 + p;      //100次}int sum_2 = 0;  //1次int q = 1;     //1次for (; q < n; ++q) {       //n次sum_2 = sum_2 + q;        //n次}int sum_3 = 0;    //1次int i = 1;     //1次int j = 1;     //1次for (; i <= n; ++i) {     //n次j = 1;                     //n次for (; j <= n; ++j) {     //n^2次sum_3 = sum_3 +  i * j; //n^2次}}return sum_1 + sum_2 + sum_3; //1次}

取最大阶量级：n^2 即为：T（n）=O f（n^2）

int sum_1 = 0;  //1次
int p = 1;     //1次
for (; p < 100; ++p) { //100次
sum_1 = sum_1 + p;        //100次
}

注：不管n增长到多大，这段代码执行的时间都是100，不管n增长到多大，这段代码执行时间是一定的，不会影响整体的执行效率的变化趋势。

<3>乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).


int cal(int n) {int ret = 0; int i = 1;for (; i < n; ++i) {      //执行n次  T1(n) ret = ret + f(i);       } } int f(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i < n; ++i) {sum = sum + i; //执行n次  T2(n)} return sum;}

f 方法的时间复杂度为O（n），cal的时间复杂度为 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

几种常见时间复杂度实例分析

O(1)：常数型时间复杂度

int n=10;
System.out.printLn("hi you input is"+n);

常数型时间复杂度，程序代码执行次数和“n”的大小没有关系

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)

O(log n): 对数复杂度

for(int i=1;i<=n;i=i*2){System.out.printLn("hi you input is"+i);
}

n的值	输出语句次数
1	1
2	2
4	3
8	4
16	5
32	6
n

即：时间复杂度约等于：O（logn）

O(n^2)：平方复杂度

//O(N^2) 代码执行N^2次
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){System.out.printLn("hi you input is"+j);}
}

乘法法则

O(n^2)：指数复杂度

O(n!)：阶乘

各时间复杂度曲线

随着N的增大，对时间复杂度的影响层度
O(1)<O(log n)<O(n)<O(n^2)<O(2n)<O(n!)

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