Problem

acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6053

莫比乌斯反演介绍

莫比乌斯反演（by PoPoQQQ）
莫比乌斯反演入门
莫比乌斯反演

Reference

2017 Multi-University Training Contest 2 solutions BY 电子科技大学（1009题）
HDU 6053 TrickGCD （莫比乌斯函数）
解题报告：HDU_6053 TrickGCD 莫比乌斯反演

Meaning

给定一个序列 {An}\{A_{n}\}，要构造一个序列 {Bn}\{B_{n}\}，满足：

1≤Bi≤Ai1\leq B_{i}\leq A_{i}
gcd（B1，…，Bn）≥2gcd（B_{1}，…，B_{n}）\geq 2

问构造的方案数。

Analysis

暴力的做法，就是枚举 gcd，每一个 gcd 产生的答案是 ∏ni=1Aigcd\prod^{n}_{i=1} \frac{A_{i}}{gcd}，总的答案就是它们的求和，但要去重，可以用莫比乌斯反演。
…好吧其实现在并不太懂莫比乌斯反演…按官方题解，定义：
F(x)：gcd 是 x 倍数的方案数；
我猜相应的就有：
f(x)：gcd 是 x 的方案数；
于是：
F(x)=∑x|df(d)⇒f(x)=∑x|dμ(dx)F(d)F(x) = \sum_{x | d}f(d) \Rightarrow f(x) = \sum_{x | d} \mu (\frac{d}{x})F(d)
而 F(x)=∏ni=1AixF(x) = \prod^{n}_{i=1} \frac{A_{i}}{x}，就可以做了。
按 dalao 的说法，因为枚举 gcd 时是从 2 开始的，f(1) 没有用到，所以在乘 μ(i)\mu (i)的时候，要多乘一个 -1，于是就有了第二个参考博客的反演式。
在处理那个连乘式的时候，要用一点优化处理。
好吧还是很迷…

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100000, A = N, MOD = 1000000007;int a[N], sum[N<<1|1];
int prime[A+1];
int mu[A+1];void Mobius()
{mu[1] = 1;memset(prime, -1, sizeof prime);for(int i = 2, top = 0; i <= A; ++i){if(prime[i]){prime[top++] = i;mu[i] = -1;}for(int j = 0; j < top && i * prime[j] <= A; ++j){prime[i * prime[j]] = 0;if(i % prime[j])mu[i * prime[j]] = -mu[i];else{mu[i * prime[j]] = 0;break;}}}
}int fast_pow(long long a, int b)
{long long x = 1;for( ; b; b >>= 1, a = a * a % MOD)if(b & 1)x = x * a % MOD;return x % MOD;
}int main()
{Mobius();int T;scanf("%d", &T);for(int kase = 1; kase <= T; ++kase){int n, small = A, big = 0;scanf("%d", &n);memset(sum, 0, sizeof sum);for(int i = 0; i < n; ++i){scanf("%d", a+i);++sum[a[i]];small = min(small, a[i]);big = max(big, a[i]);}for(int i = 1; i <= big << 1; ++i)sum[i] += sum[i-1];long long ans = 0, tmp;for(int d = 2; d <= small; ++d)if(tmp = -mu[d]) // mu[d] != 0{for(int i = d; i <= big; i += d)tmp = tmp * fast_pow(i/d, sum[i+d-1]-sum[i-1]) % MOD;ans = (ans + tmp + MOD) % MOD;}printf("Case #%d: %I64d\n", kase, ans);}return 0;
}

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