AR、MA、ARMA与ARIMA

题目中的几种模型，都是寻找时间序列上当前时刻的数值与之前时刻对应数据或扰动之间的内部关系，通过训练模型，从而达到预测的目的。

P阶-自回归模型
（AR）

Auto Regression

自回归和传统线性回归

传统线性回归是探究因变量与自变量之间的关系。

而自回归(AR)是处理一组杂乱数据内部之间关联的回归模型。

适用条件

当前时刻的数值与之前时刻对应数值有关，但与之前时刻的扰动无关。（有关指数据内部有相关关系）

需先判断是否平稳

自回归模型并不都是平稳的，对于不平稳的自回归模型来讲，误差较大。因此需要先判断训练好的自回归模型是否是平稳模型。

判断平稳的方法：自回归模型平稳的等价条件是自回归模型自回归系数多项式的根都在单位圆以外。

Q阶-移动平均模型
（MA）

Moving Average

适用条件

当前时刻的数值与之前每个时刻的值无关，但与之前时刻的扰动有关。

不需判断是否平稳

移动平均模型都是平稳的。

自回归移动平均模型
（ARMA）

Auto Regression Moving Average

与AR、MA联系

ARMA是AR和MA的有机组合，而AR和MA是ARMA的特殊情况。

适用条件

ARMA是用来处理时间序列通过预处理之后为平稳非白噪声序列的数据。

平稳与否取决于AR是否平稳。

是否为白噪音取决于残差项是否为白噪音。（残差项为白噪音，也就是说残差项中不包含任何相关信息，此时为好的。）

模型输入输出

输入：平稳非白噪音序列

输出：训练好的模型（训练）/ 预测值

模型流程

ARMA的流程大致为：输入进去已经经过预处理好的平稳非白噪声序列，再进行ARMA的建模。

第一步：求出该序列的ACF（样本自相关系数）和PACF（样本偏自相关系数）

第二步：利用求出来的ACF和PACF进行ARMA模式识别，模式识别即【定阶】。

第三步：参数估计，即【定参】。

第四步：模型检验，分为两个阶段。

①模型显著性检（残差序列的白噪音检验）—最主要的一步，为了看残差值是否为白噪音。

模型是否显著有效，主要看它所提取的信息是否充分，即残差值中不再包含任何相关信息，即为白噪音。

②参数显著性检验——为了模型更加精简，看每一时刻前的参数有无为零的参数，有则去除掉该自变量。

此时，如果模型检验未通过（我的理解是残差序列不是白噪音即为未通过），则再次进行模型识别，重新定阶、定参，直到模型检验通过。

第五步：模型优化，将通过模型检验的模型保留，并多次重新进行定阶、定参，以此来得到多个能够通过模型检验的模型，按照AIC准则择优得到最终模型。【AIC准则】模型未知参数的个数和拟合精度（似然函数值）的综合最优配置。

第六步：通过择优出来的模型进行预测。

求和自回归移动平均模型
（ARIMA）

Moving Average

与ARMA的联系

ARIMA是ARMA模型与差分运算的组合。

适用条件

差分运算如果能够将非平稳数据转换成平稳数据，则可以继续用ARMA模型进行模型的拟合。

因为我们拿到的数据大多是非平稳数据，而ARIMA又能够对非平稳时间序列进行模型拟合，所以ARIMA应用的较为广泛。

—END—

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