基本概念

Chromatic Number的定义是最小色数，也就是给图的点染色并且相邻点颜色不相同的最少颜色数量。对于一个确定的图来说，它的最小色数是一个确定的唯一的数。使用希腊字母 χ \chi χ（读音为 /kaɪ/）表示，如 χ ( G ) = 3 \chi(G)=3 χ(G)=3。
k-critical，就是图本身最小色数为k，但是所有真子图（不包括自己的子图）H的最小色数都要小于k，也就是 χ ( H ) < k \chi(H)<k χ(H)<k。

定理一 e ≤ 3 n − 6 e\le3n-6 e≤3n−6

这个定理没有一个标准的名称。完整的表示是，任意可平面化简单图的点数 n ≥ 3 n\ge3 n≥3时，有以下两个不等式成立：
e ≥ 3 f 2 e ≤ 3 n − 6 e\ge\frac{3f}2\\ e\le3n-6 e≥23fe≤3n−6
证明过程如下：
首先假设图G是连通图。
当 n = 3 n=3 n=3时，这两个公式肯定成立。三个点时，图G最多有三个边， 3 n − 6 = 3 3n-6=3 3n−6=3， e ≤ 3 n − 6 e\le3n-6 e≤3n−6成立。当有三条边时，有两个区域， e ≥ 3 f 2 e\ge\frac{3f}2 e≥23f成立。因为时连通图，所以只剩下边数为2的情况，这是只有一个区域， e ≥ 3 f 2 e\ge\frac{3f}2 e≥23f也成立。但是我们不能这样证明啊，把n一直取值，n可以无限大，那证明过程不就无限长么？
所以只有把 n ≥ 4 n\ge4 n≥4的情况合并考虑。先假设G是一棵树。那么 e = n − 1 , f = 1 e=n-1,f=1 e=n−1,f=1。所以有：
e = n − 1 ≥ 4 − 1 = 3 2 × 2 > 3 2 = 3 2 f ∴ e ≥ 3 f 2 e=n-1\ge4-1=\frac{3}{2}\times2\gt\frac{3}{2}=\frac{3}{2}f\\ \therefore e\ge\frac{3f}2 e=n−1≥4−1=23×2>23=23f∴e≥23f
如果G不是一棵树，那么必定存在一个环。假设组成环的边的数量和为c，因为是简单图，所以 c ≥ 3 c\ge3 c≥3。因为每个环都至少需要3个边，所以有：
c ≥ 3 f c\ge3f c≥3f
因为每个边计算了两次，也有可能有些边不属于任何一个环。所以有 c ≤ 2 e c\le2e c≤2e，连起来就是：
3 f ≤ c ≤ 2 e ∴ 3 f ≤ 2 e ∴ e ≥ 3 f 2 3f\le c\le2e\\ \therefore 3f\le2e\\ \therefore e\ge\frac{3f}2 3f≤c≤2e∴3f≤2e∴e≥23f
根据欧拉图论公式， f = e − n + 2 f=e-n+2 f=e−n+2，我们继续推导：
e ≥ 3 f 2 e ≥ 3 ( e − n + 2 ) 2 2 e ≥ 3 ( e − n + 2 ) = 3 e − 3 n + 6 0 ≥ 3 ( e − n + 2 ) = e − 3 n + 6 e − 3 n + 6 ≤ 0 e ≤ 3 n − 6 e\ge\frac{3f}2\\ e\ge\frac{3(e-n+2)}2\\ 2e\ge{3(e-n+2)}=3e-3n+6\\ 0\ge{3(e-n+2)}=e-3n+6\\ e-3n+6\le0\\ e\le3n-6 e≥23fe≥23(e−n+2)2e≥3(e−n+2)=3e−3n+60≥3(e−n+2)=e−3n+6e−3n+6≤0e≤3n−6
这样，连通图的证明完毕。对于非连通图，G有k个组件， G 1 , G 2 , … G k G_1,G_2,\dots G_k G1,G2,…Gk。每个组件都是连通的，那么把他们加起来也适用于上述两个不等式。假设每个组件的边数为 e i e_i ei，点数为 n i n_i ni，面数为 f i f_i fi。
f = ∑ i = 1 i ≤ k f i − k + 1 = ∑ i = 1 i ≤ k f i − ( k − 1 ) e = ∑ i = 1 i ≤ k e i ∵ e i ≥ 3 f i 2 , k > 1 ∴ e = ∑ i = 1 i ≤ k e i ≥ 3 2 ∑ i = 1 i ≤ k f i ≥ 3 2 ∑ i = 1 i ≤ k f i − 3 2 ( k − 1 ) = 3 2 f ⇒ e ≥ 3 2 f f=\sum_{i=1}^{i\le k}f_i-k+1=\sum_{i=1}^{i\le k}f_i-(k-1)\\ e=\sum_{i=1}^{i\le k}e_i\\ \because e_i\ge \frac{3f_i}2 ,k>1\\ \therefore e=\sum_{i=1}^{i\le k}e_i \ge \frac{3}{2}\sum_{i=1}^{i\le k}f_i\ge\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{i\le k}f_i-\frac{3}{2}(k-1)=\frac{3}{2}f\\ \Rightarrow e\ge \frac{3}{2}f f=i=1∑i≤kfi−k+1=i=1∑i≤kfi−(k−1)e=i=1∑i≤kei∵ei≥23fi,k>1∴e=i=1∑i≤kei≥23i=1∑i≤kfi≥23i=1∑i≤kfi−23(k−1)=23f⇒e≥23f
再计算下第二个公式：
e i ≤ 3 n i − 6 ⇒ e = ∑ i = 1 i ≤ k e i ≤ 3 ∑ i = 1 i ≤ k n i − 6 k = 3 n − 6 k ⇒ e ≤ 3 n − 6 k ≤ 3 n − 6 e_i\le3n_i-6\\ \Rightarrow e=\sum_{i=1}^{i\le k}e_i\le3 \sum_{i=1}^{i\le k}n_i-6k=3n-6k\\ \Rightarrow e\le3n-6k\le 3n-6 ei≤3ni−6⇒e=i=1∑i≤kei≤3i=1∑i≤kni−6k=3n−6k⇒e≤3n−6k≤3n−6
Q.E.D.(证明完毕)。

定理二 δ ( G ) ≥ k − 1 \delta(G)\ge k-1 δ(G)≥k−1

这个定理是说，对于k-critical的图，如果 k ≥ 2 k\ge2 k≥2，那么k一定是连通图，并且 δ ( G ) ≥ k − 1 \delta(G)\ge k-1 δ(G)≥k−1。
现在我给出证明：
假设图不是连通的，那么图由m个组件组成，分别为 G 1 , G 2 , … G m G_1,G_2,\dots G_m G1,G2,…Gm。那么最小色数肯定是这些组件最小色数的最大值。那对于最小色数最大的组件 G k G_k Gk来说，它是图G的真子图，但是它的最小色数是等于G，而不是小于G的，所以通过反证法，表明了必须G必须连通。
再证明 δ ( G ) ≥ k − 1 \delta(G)\ge k-1 δ(G)≥k−1。依然使用反证法，假设 δ ( G ) ≤ k − 2 \delta(G)\le k-2 δ(G)≤k−2。设这个最小度数的点为v，那么 δ ( G ) = d ( v ) \delta(G)=d(v) δ(G)=d(v)，也就是v最多有 k − 2 k-2 k−2个邻居。因为图G是k-critical的，那么图删除点v，组成的图 G − v G-v G−v是G的真子图。这个真子图的最小色数一定比k小，那么 χ ( G − v ) \chi(G-v) χ(G−v)最大可取 k − 1 k-1 k−1，也就是 χ ( G − v ) ≤ k − 1 \chi(G-v)\le k-1 χ(G−v)≤k−1。也就是说除去v的图使用 k − 1 k-1 k−1种颜色就够了，记住这个结论。
现在，v最多有 k − 2 k-2 k−2个邻居。那么我们肯定能在 G − v G-v G−v使用的 k − 1 k-1 k−1种颜色中，找到一种颜色，不同于v的 k − 2 k-2 k−2个邻居所用的颜色。那么整个G就只需要使用 k − 1 k-1 k−1种颜色。这与图G最小色数为k矛盾，证明完毕。

定理三 δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\le5 δ(G)≤5

Heawood在1890年首先证明了这个定理：
可平面化图最小度数小于等于5，也就是 δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\le5 δ(G)≤5。
通俗地讲，就是可平面化图肯定有一个点的度数是5或更小，或者说可平面化图不可能所有点的度数都大于5。
这个定理的证明过程是一个公式就可以解决的，设图点的数量为n,边数为e，d(v)为点v的度数：
δ ( G ) ⋅ n ≤ ∑ v ∈ G d ( v ) = 2 e ≤ 6 n − 12 δ ( G ) ⋅ n ≤ 6 n − 12 δ ( G ) ≤ 6 − 12 n ∴ δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\cdot n\le\sum_{v \in G}d(v)=2e\le 6n-12\\ \delta(G)\cdot n\le 6n-12\\ \delta(G)\le 6-\frac{12}n\\ \therefore \delta(G)\le 5\\ δ(G)⋅n≤v∈G∑d(v)=2e≤6n−12δ(G)⋅n≤6n−12δ(G)≤6−n12∴δ(G)≤5
δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\le5 δ(G)≤5对五色定理的证明特别重要。

五色定理证明过程

五色定理的数学语言就是 χ ( G ) ≤ 5 \chi(G)\le5 χ(G)≤5。四色定理难以证明，但是五色定理可以证明啊。其实就是证明6-critical的可平面化图不存在。6-critical的可平面化图，它的所有子图是 χ ( G ) ≤ 5 \chi(G)\le5 χ(G)≤5的。反过来说，不可能通过加点或边，使得 χ ( G ) > 5 \chi(G)\gt5 χ(G)>5。这需要用到前面讲的三个定理。对于6-critical图，运用定理二，我们知道 δ ( G ) ≥ 5 \delta(G)\ge5 δ(G)≥5，而定理三告诉我们 δ ( G ) ≤ 5 \delta(G)\le5 δ(G)≤5，那么 δ ( G ) = 5 \delta(G)=5 δ(G)=5。假设这个最小度数点为v，那么v有五个邻居。又因为是6-critical图，所以 χ ( G ) = 6 \chi(G)=6 χ(G)=6，所以这五个邻居和v是6种颜色。设这五个邻居为 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 v1,v2,v3,v4,v5，我们把 v 1 v_1 v1的颜色改成 v 3 v_3 v3的颜色。如下图：

1的颜色换成3的：

如果不能换，说明1和3之间存在一条路径。

那我们恢复一下，再把2的颜色换成4的。如果还不行，说明存在2-4的路径，那么图就是非平面图推翻了平面图的假设。如果可以，图可以五色，推翻了最小色数为6的假设。如下图：

所以五色定理证明完毕。

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8.9 五色定理(Heawood 1890)

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