最长不下降子序列O(NlogN) 输出序列

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不输出序列的思路
输出序列
- 代码
例题：导弹拦截

不输出序列的思路

我们对于O(n2)O(n^2)O(n2)的最长不下降子序列十分熟悉了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,a[1005],f[1005];int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;for(int i=n-1;i>=1;i--) {for(int j=i+1;j<=n;j++) {if(a[j]>=a[i] && f[j]+1>f[i])f[i]=f[j]+1;}if(f[i]>ans) ans=f[i];}printf("%d",ans);return 0;
}

我也就不解释了，直接讲一下O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN)的算法。
我们定义一个f[len]f[len]f[len]数组，表示长度为len的不下降子序列末尾元素的最小值
当a[i]>=f[len]a[i]>=f[len]a[i]>=f[len]时，我们就f[++len]=a[i]f[++len]=a[i]f[++len]=a[i]。
当a[i]<f[len]a[i]<f[len]a[i]<f[len]，我们就找一个在lenlenlen之前找一个数，刚好比a[i]a[i]a[i]大，用a[i]a[i]a[i]把这个数给替换掉。
因为fff数组一定是单调递增，所以我们在查找时可以使用STLSTLSTL中的upper_boundupper \_boundupper_bound函数来二分。

#include <bits/stdc++.h>
#include <stack>
using namespace std;
int n,a[1000005],f[1000005],cnt;int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);f[++cnt]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++) {if(a[i]>=f[cnt]) f[++cnt]=a[i];else {int x=upper_bound(f+1,f+cnt+1,a[i])-f;f[x]=a[i];}}printf("%d\n",cnt);return 0;
}

输出序列

我们输出序列就需要定义一个数组ccc，用来记录每个元素在最长序列中的位置，即c[i]c[i]c[i]表示a[i]a[i]a[i]被放到了序列的第几个位置。

输出时，从数组aaa的尾部开始，逆序依次找出ccc为len,len−1,len−2…3,2,1len, len-1, len-2 … 3, 2, 1len,len−1,len−2…3,2,1 的元素，并且找到一个就接着寻找c[i]−1c[i]-1c[i]−1，直到找到c[i]c[i]c[i]为111的数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <stack>
using namespace std;
int n,a[1000005],f[1000005],cnt,c[1000005];int main() {scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);if(n==0) {printf("0\n");return 0;}f[++cnt]=a[1],c[cnt]=1;for(int i=2;i<=n;i++) {if(a[i]>=f[cnt]) f[++cnt]=a[i],c[i]=cnt;else {int x=upper_bound(d+1,d+cnt+1,a[i])-d;f[x]=a[i],c[i]=x;}}printf("%d\n",cnt);stack<int> s;for(int i=n,j=cnt;i>=1 && j;i--)if(c[i]==j) s.push(a[i]),j--;while(s.size()) {printf("%d ",s.top());s.pop();}return 0;
}

例题：导弹拦截

传送门
我们只需要求一个最长不上升子序列和最长下降子序列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100005],f[100005],cnt_1,dp[100005],cnt_2;int main() {while(scanf("%d",&a[++n])!=EOF); n--;f[++cnt_1]=a[1],dp[++cnt_2]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++) {if(f[cnt_1]>=a[i]) f[++cnt_1]=a[i];else {int x=upper_bound(f+1,f+cnt_1+1,a[i],greater<int>())-f;f[x]=a[i];}if(dp[cnt_2]<a[i]) dp[++cnt_2]=a[i];else {int x=lower_bound(dp+1,dp+cnt_2+1,a[i])-dp;dp[x]=a[i];}}printf("%d\n%d",cnt_1,cnt_2);return 0;
}