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折纸是一门古老而有趣的艺术，然而当今的科学家们开始从新的角度审视这项艺术形式，将它应用于生活和科学的众多方面——没准，在你身边就有融合了折纸艺术的美妙产物。

当我九岁的时候，我就是个折纸大师了。我有一个叫金的朋友，她有一年从日本来英格兰拜访。我当时向她展示了许多在英格兰可做的有意思的事情，她也教会了我许多很酷的日本元素，从日本漫画（Manga），再到制作寿司。当然，她还教会了我折纸——有一天下午，金教会了我如何折纸鹤。正是从那时候起，我觉得自己成为了“世界上最棒的折纸大师”——不过后来又过了十五年我才意识到自己并不是，甚至于我从未接近过成为折纸大师。

令人惊讶的是，我还不是唯一一个犯过这种错误的人。毫无疑问的是，历史上有许多艺术家都真心相信他们已经制作了最好的、最复杂的折纸模型。但事实上，直到20世纪，随着计算机的兴起折纸才真正起飞。

罗伯特·朗用16张未切割的温德斯通"大理石"方纸块制作的异特龙骨架。尺寸：24英寸。图片来源感谢罗伯特·朗。

折纸简史

尽管英文中“折纸”（origami）一词来源于日语，并经常同日本联系在一起，但是有记载的最早的折纸来源于中国。早在公元200年左右中国就能生产出纸张了，那时候将其用作丝绸的廉价替代品。在中国，折纸的艺术（The art of paper folding）读作“Zhezhi ”，中国佛教僧侣在6世纪时把纸带到了日本。

由罗伯特·朗用一个未切割的正方形韩国汉吉纸制作的飞马。尺寸：7英寸。图片来源感谢罗伯特·朗。

折纸从此在日本生根发芽并发扬光大。“origami”一词本身就是两个较小的日语词汇的组合："ori"，意思是折叠，和"gami"，意思是纸。这项艺术是（现在仍然是）日本儿童许多世纪以来流行的消遣方式。

如果不是一个日本工人的出现，折纸艺术可能还是按照传统的样式存在下去。这位叫作吉泽章（ Akira Yoshizawa）的工人于1911年出生于一个奶农家庭。吉泽小的时候很喜欢折纸。而且和其他孩子一样，随着年龄的增长，对于吉泽章来说折纸的魅力减弱了，他开始找到其他东西来代替折纸以消磨时间。但是与绝大多数孩子不同，20岁出头的吉泽章重新找到了他和这折纸的关系。当时他在一家工厂里教初级员工几何学。吉泽章突然意识到，折纸其实是一种可以帮助他的学生们理解角度、线条以及形状的简单却有效的方法。

吉泽章 图片来源：网络

随着吉泽练习得越来越多，他开发出了许多开创性的技术，比如“湿法折纸”，这种技术可以把单张纸折出更加复杂的图案甚至曲线出来。他的工作使得折纸重新焕发了生机，他的这些技术使得折纸从古怪的小打小闹，变成了一门真正的艺术形式。随着越来越复杂的折纸图案被设计出来，这项艺术开始吸引了数学家的注意，而他们的想法和吉泽不谋而合——折纸与几何学之间有着巨大的交叉联系。折纸的数学研究最终演变成了解决两个问题的新方法。而这两个问题来源于不同的文化，根植于不同的大洲，已经有了很多年的历史。

欧几里得的元素

亚历山大的欧几里得是一位2000年前的希腊数学家，通常我们称之为“几何学之父”。欧几里得的作品《几何原本》是数学史上最成功的教科书，也是已知最早系统性讨论几何学领域的书。

欧几里得知道，只用无刻度的直尺和圆规就可以完成大量的几何操作，比如画出五边形、六边形还有圆。这一点在当时也是众所周知的，所以欧几里得能完成这些也并非非比寻常。

但是，欧几里得的开创性工作在于，他采用了系统性的方法来研究几何问题。《几何原本》中的每一个几何结构和数学结果都是从一组五个假设出发分步推导出来的，其中也包括了使用尺规可能进行的操作：

• 给定两点可以经过它们画一条线；

• 任何线段的两端都可以无限延伸；

• 可以以给定点为圆心，以从这一点出发的线段为半径做圆；

• 所有直角彼此相等；

• 给定一条直线和不在线上的一点P，只有一条线经过P且不与原线相交。

用汉吉纸、线和木头制作的蜂鸟和凌霄花。尺寸：15英寸。图片来源感谢罗伯特·朗

这些假设，被称为欧几里得公理，它们似乎是显而易见的。事实上欧几里得自己也认为，它们是如此明显，这本身是不言而喻的。但是这些公理的美丽之处在于，它们可以用来构造出各种定理的几何证明，而这些证明本身比这几条公理要复杂的多。

但是欧几里得公理本身也有局限性。古代有最著名的两个问题，一个是三等分角问题（将给定角度分成三个相等的部分）和立方体的倍增问题（构造一个立方体，其体积正好是给定立方体的两倍）。据传说，古代德洛斯的市民就面临着后一个问题，当时德尔福的预言家建议他们加倍他们的祭坛体积，以避免瘟疫。然而，事实证明，仅使用欧几里得的尺规作图法是不可能解决这个问题的。三等分角也是无法用尺规作图解决的。

但实际上，这两个问题都可以用折纸来解决！因此，我们仿佛看到了一种惊人的可能性——折纸几何比欧几里得几何更强大。

折纸的独到之处

正如欧几里德为平面几何设计了公理一样，现代数学家藤田文章（Humiaki Huzita）和羽鸟公士郎（Koshiro Hatori）设计了一套完整的公理来描述折纸几何学——Huzita-Hatori公理。

公理1：给定两个点  和  ，存在唯一一个的折叠，同时经过这两个点。

公理2：给定两点  和，存在唯一一个折叠，使得两点重合。

公理3：给定两条线  和  ，存在一个折叠，使得两条线重合。

公理4：给定一个点  和一条线  ，存在唯一的折叠，它垂直于并通过点  。

公理5：给定两个点  、 和一条线  ，存在一个折叠，它经过  ，并使得  落在  上。

公理6：给定两个点  和两条线  ， ，存在一个折叠，可以使  落在  上，同时  落在  上。

公理7：给定一点  和两条线  、 ，存在一个折叠， 它垂直于  ，并且使得  落在  上。

三等分角问题

折纸几何里面第七个公理是处理三等分角问题和立方体倍增问题的关键。下面我们从角度构造开始。按照下面的步骤，我们将会看到如何通过简单的公理，通过一系列折叠来完成欧几里得公理无法完成的操作。（图表来源感谢罗伯特·朗）

绘制所需的角度PBC，B在纸张的一角。	在任意位置进行水平折叠，定义出线EF	将线BC折叠到线EF再展开，形成线GH	将左下角向上折叠，使得点E落在线BP上，点B落在线GH上
把两层对折，形成线GJ，再展开	把左下角B展开回去	沿经过J的折痕折叠，把折痕从J延伸到B。把底边BC折叠到BJ，然后展开。	折痕BJ和BK就把原始角PBC三等分。

大家可以自己想一下其中的技术性原理。如果你仍有疑问的话，这里给出一种证明。（此方法适用于任何小于90°的角度，对于更大的角度还有其他方法）

立方体倍增问题

给定一个棱长  体积 V 的立方体。你的任务是找到使得体积变成2V 时的正方体的棱长  。下面我们看看如何通过折纸来做到这一点。（图片来源感谢罗伯特·朗）

沿纸张的右侧边的一半位置做一个小折。	做连接AC的折痕和连接BE的折痕，交叉点位置要折得锐利一点。	把上边AD往下折叠，使得刚刚得到的交叉点落在AD上，再把下边BC往上折，使得BC与新的折痕重合，然后展开。	把角C折到AB上，此时点I落在FG上。	点C把边AB分成两段，算一下AC/CB的比值，把它乘以原始正方体的棱长， 结果就是你在寻找的棱长 。

如果你对此有疑问的话，这里给出一个关于其中技术细节的证明。

一切尽在第三度

那么折纸是怎样拥有了解决这两个经典问题的能力的呢？答案在于这两个问题都可以归结为求解一个立方方程。在立方体的情况下，你要找到棱长  ，使得

这里V 是给定立方体的体积。因为  （这里  是给定立方体的棱长），我们有

也就是说

既然你知道了，那事实上只要找到  就可以了。这就是我们在上面的构造中发现的数字。

通过三角学可以把任意角度  三等分：写作  ，再利用三角公式（写成两个角的余弦形式），我们有

因为

再加上

把它们带入上面的等式

解出这个立方方程，就给出了  的可能值，再从中可以解出  。

事实证明，折纸不仅可以求解上述两个问题所对应的两个立方方程，而且可以求解任何立方方程，即下面这个形式：

a,b,c,d对应某些值（你可以在这里看到这个方程的解法）。而欧几里得只能通过尺规作图方法求解二次方程，不能求解立方方程。

计算折纸

现代数学折纸的先驱者之一是美国数学家和折纸艺术家罗伯特·朗。

1989年，朗为《工程与科学》杂志写了一篇文章，其中他指出一个问题：“计算机是否有一天能设计出一种被认为优于人类设计的折纸模型？”他对这个问题非常感兴趣，在1990年他开始编写一个可以做到这一点的计算机程序。

从左起：由TreeMaker生成的图案、生成的基和成品模型。图片来源感谢罗伯特J.朗。

在几个月内，朗制作了一个他称之为Treemaker的软件的第一个版本（之所以这样称呼，是因为作为起点的图类似于树木）。该程序能够将简单的线条图或简笔画转换为纸基的计划，从中可以折叠出模型。

在本文中，基是指一个几何形状，它里面包含了对应于折纸模型的所有附属物的襟翼（一种活动面）。这样一来，一只有两个翅膀、一条尾巴和一个头的鹤可以由一个有四个襟翼的基形成，而一只六条腿、一个头、一个腹部的昆虫可以由一个有八个襟翼的基形成。

用未切割的泰式 unryu 纸矩形制作的响尾蛇。尺寸：8英寸。图片来源感谢罗伯特•朗。

起初，用朗自己的话说，TreeMaker"只是始于数学上的好奇心"。然而，在接下来的八年里，随着朗对折痕图案的理解不断增加，他为程序添加了算法。到1998年，TreeMaker能够为各种各样的折纸的基构建出完整的折痕图案。

如今，朗收藏了数千件折纸雕塑。虽然不是所有的这些都是在Treemaker的帮助下完成的，但如果没有它，朗最复杂的一些设计是不可能完成的。这篇文章中，就有许多他创作的图案。

折纸技术

虽然朗和其他人的一些设计确实令人震惊，但人们很容易将折纸视为简单的艺术：美丽，但在现实世界中没有应用。因此，从太空望远镜到汽车安全气囊，折纸技术正被应用——这多少有些出人意料。

用一张未切割的韩国汉吉纸折叠成的爱尔兰鹿。尺寸：9英寸。图片来源感谢罗伯特·朗。

自从1990年哈勃望远镜由发现号航天飞机送入轨道以来，太空科学家一直致力于开发它最终的下一代替代品。加州劳伦斯利弗莫尔国家实验室的衍射光学组的罗德里克·海德（Roderick Hyde）提出了建造比哈勃望远镜大四十倍的望远镜的想法。哈勃望远镜本身就不小，长13米，孔径2.4米。海德提议的望远镜的光圈将近100米，长数百米。这立即带来了一个后续问题：即使可以设计这种东西，它如何进入轨道？

当研究人员意识到有可能制造出一个可折叠的透镜并装进航天飞机时，答案就呼之欲出了。我们可以通过将两个透镜置于轨道中，来使望远镜的两端之间保持适当的距离。而在这个位置因为失重的缘故，这两个透镜可以停留在轨道上。实验室立即看到了这与折纸之间的关联，他们联系了罗伯特·朗，想征求他的专家意见。

在接下来的一年里，在朗的帮助下，实验室团队建造了一个直径为5米的名为“眼镜”的原型。哈勃望远镜的下一代，于2013年发射的詹姆斯·韦伯太空望远镜上确实有一面镜子，可以像折纸一样折叠后放入火箭中。

詹姆斯·韦伯望远镜 图片来源：网络

对于离居家生活更近的应用，汽车安全气囊的发展为我们提供了如何使用折纸的另一个例子。在碰撞过程中，安全气囊在充气之前是被紧紧地折叠到方向盘或仪表板内的隔间中的。设计安全气囊的工程师首先对计算机上的膨胀过程进行建模。为了做到这一点，他们需要一个算法来"折叠"完全膨胀的安全气囊。

使用计算机程序Treemaker，朗能够为来自德国EASi工程公司的工程师提供他们的折叠问题的解决方案。这实质上是将安全气囊表示为一系列的多边形，其边缘在折叠期间和折叠之后要保持对齐——这项任务可以通过详细的折叠模式实现，就像朗用于折纸模型一样。

折纸大师

对于一个像纸本身一样古老的艺术来说，折纸花了很长的时间才展现出它的潜力。今天，人们从折纸上找到了数以百计的应用，从帮助建立自组装机器人，再到为寻找人体内的蛋白质如何折叠成精确的三维形状提供线索。伴随着计算机的诞生，人们花了近两千年的时间才意识到有多少是可能的，而朗的创作证明了我们迄今为止可以走多远。

用一个未切割的方纸做的螳螂。尺寸：4英寸。图片来源感谢罗伯特·朗。

正如开头所说，我九岁的时候还幻想着自己是个折纸大师，幻想着自己已经凭借一只纸鹤征服了折纸的世界。而折纸艺术的这些令人难以置信的应用，已经给我的九岁时的幻想画上了句号。

然而对于折纸的新手们而言，当他们发现自己能够用一张纸折叠几下就制作出如此优雅简单的形式，无疑每个人都会觉得自己真的是个大师。所以继续试试吧，我敢保证你也会像我一样被迷住的。

作者：Liz Newton

翻译：Dannis

审校：Nuor

原文链接：

https://plus.maths.org/content/power-origami#angle

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MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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