【SGU 448】Controlled Tournament（状态压缩动态规划）

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【SGU 448】Controlled Tournament

题目大意

给定比赛人员个数nnn，你希望赢的人的编号m" role="presentation" style="position: relative;">mmm以及一张n×nn×nn\times n的胜负表，第iii行第j" role="presentation" style="position: relative;">jjj 列为111，代表i" role="presentation" style="position: relative;">iii能赢jjj。
赛制为淘汰赛，求m" role="presentation" style="position: relative;">mmm最后能赢，且总比赛树的最小高度时，一共有多少种可能方案。
n≤16n≤16n\le 16。

题解

看到n≤16n≤16n\le 16，果断使用状态压缩动态规划。
dp[i][height][mask]dp[i][height][mask]dp[i][height][mask]表示已比赛完的人的状态为maskmaskmask，其中第iii个人胜利了，且比赛树的高度为height" role="presentation" style="position: relative;">heightheightheight。
状态转移：枚举子集，当子集submasksubmasksubmask中包含iii，i" role="presentation" style="position: relative;">iii能胜过补集中的jjj的时候，可以转移。
即：dp[i][height][mask]=∑dp[i][height−1][submask]×dp[j][height−1][mask−submask]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i][height][mask]=∑dp[i][height−1][submask]×dp[j][height−1][mask−submask]dp[i][height][mask]=∑dp[i][height−1][submask]×dp[j][height−1][mask−submask]dp[i][height][mask]=\sum {dp[i][height-1][submask]\times dp[j][height-1][mask-submask]}。
具体细节见代码。

代码no.1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mxn 16
#define lgn 4
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<(r);i++)
typedef long long ll;
int n,m,hi,a[mxn][mxn],cnt[1<<mxn];
int dp[mxn][lgn|1][1<<mxn];
int search(int i,int k,int msk) {if(~dp[i][k][msk]) return dp[i][k][msk];if(msk==1<<i)   return dp[i][k][msk]=1;if(1<<k<cnt[msk])   return dp[i][k][msk]=0;dp[i][k][msk]=0;for(int msk0=msk&(msk-1);msk0;msk0=msk&(msk0-1))if(msk0&(1<<i)) {int msk1=msk^msk0;rep(j,0,n)  if(a[i][j]&&(msk1&(1<<j)))dp[i][k][msk]+=search(i,k-1,msk0)*search(j,k-1,msk1);}return dp[i][k][msk];
}
int main() {memset(dp,-1,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&m),m--;rep(i,1,1<<n)cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);rep(i,0,n)  rep(j,0,n)scanf("%1d",a[i]+j);for(;1<<hi<n;hi++);search(m,hi,(1<<n)-1);if(dp[m][hi][(1<<n)-1]==-1)dp[m][hi][(1<<n)-1]=0;printf("%d\n",dp[m][hi][(1<<n)-1]);return 0;
}

代码no.2（加了一些小优化，然并卵）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mxn 16
#define lgn 4
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<(r);i++)
typedef long long ll;
int n,m,hi,a[mxn][mxn],cnt[1<<mxn];
int dp[mxn][lgn|1][1<<mxn];
int search(int i,int k,int msk) {if(~dp[i][k][msk]) return dp[i][k][msk];if(msk==1<<i)   return dp[i][k][msk]=1;if(1<<k<cnt[msk])   return dp[i][k][msk]=0;if(!(msk&(1<<i)))   return dp[i][k][msk]=0;dp[i][k][msk]=0;int msk0,msk1,tmsk=msk^(1<<i);for(int tmsk0=tmsk&(tmsk-1);tmsk0;tmsk0=tmsk&(tmsk0-1)) {msk0=tmsk0|(1<<i);msk1=msk^msk0;rep(j,0,n)  if(a[i][j]&&(msk1&(1<<j)))dp[i][k][msk]+=search(i,k-1,msk0)*search(j,k-1,msk1);}msk0=1<<i;msk1=msk^msk0;rep(j,0,n)  if(a[i][j]&&(msk1&(1<<j)))dp[i][k][msk]+=search(i,k-1,msk0)*search(j,k-1,msk1);return dp[i][k][msk];
}
int main() {memset(dp,-1,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&m),m--;rep(i,1,1<<n)cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);rep(i,0,n)  rep(j,0,n)scanf("%1d",a[i]+j);for(;1<<hi<n;hi++);search(m,hi,(1<<n)-1);if(dp[m][hi][(1<<n)-1]==-1)dp[m][hi][(1<<n)-1]=0;printf("%d\n",dp[m][hi][(1<<n)-1]);return 0;
}

复杂度分析

状态数量：O(n×logn×2n)O(n×log⁡n×2n)O(n\times \log n\times 2^n)。
众所周知，子集枚举是O(3n)O(3n)O(3^n)的。
所以总复杂度是：O(n×logn×3n)O(n×log⁡n×3n)O(n\times \log n\times 3^n)。
但是为何没有超时呢？
因为有很多状态是没用的。

总结

有没用状态的动态规划往往可以使用记忆化搜索的手段，从而将程序的效率进一步提高。