XTU OJ 1355 Euler‘s Totient Function(欧拉函数)

XTU OJ 1355 Euler’s Totient Function(欧拉函数)

题目描述

对于整数n，定义ϕ(n)ϕ(n)ϕ(n)为小于或等于n，并与n互质的整数的个数，比如6,比它小的和它互质的数有1,5,所以ϕ(6)=2ϕ(6)=2ϕ(6)=2。如果n=p1k1⋅p2k2⋅…⋅pmkmn=p_1^{k_1}⋅p_2^{k_2}⋅…⋅p_m^{k_m}n=p1k1⋅p2k2⋅…⋅pmkm，其中pip_ipi为不相同的素数。那么ϕ(n)=n⋅(1−1p1)⋅…⋅(1−1pm)ϕ(n)=n⋅(1−\frac1{p_1})⋅…⋅(1−\frac1{p_m})ϕ(n)=n⋅(1−p11)⋅…⋅(1−pm1)。
我们定义f(a,b)=∑i=abϕ(i)f(a,b)=∑^b_{i=a}ϕ(i)f(a,b)=∑i=abϕ(i),请你写一个程序求f(a,b)f(a,b)f(a,b)。

输入

第一行是一个整数T(1≤T≤10000)T(1≤T≤10000)T(1≤T≤10000)，表示样例的个数。每个样例是一行，为两个整数a,b(1≤a≤b≤3000000)a,b(1≤a≤b≤3000000)a,b(1≤a≤b≤3000000)。

输出

每行输出一个样例的结果。

样例输入

3
1 6
1 100
1 1000000

样例输出

12
3044
303963552392

提示

巨大的输入输出，请使用C风格的输入输出。

题解

既然是欧拉函数，势必要用到欧拉筛法（强烈建议各位还没学的小伙伴去学一下），关于欧拉函数的性质，百度百科上有，附上链接：欧拉函数。
简单概括如下：
①φ(n)=n∗∏(pi−1pi)φ(n)=n*\prod(\frac{p_i -1}{p_i})φ(n)=n∗∏(pipi−1);
②当两个数a，b互为质数，即gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1时，欧拉函数φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)φ(a*b)=φ(a)*φ(b)φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b);
③当n是质数时，有φ(n)=n−1φ(n)=n-1φ(n)=n−1;
下面是推导过程的截图（截至oi-wiki）

下面直接上代码

#include <stdio.h>
#define MAXLEN 3000000
int prime[220000] = { 0 };
int check[MAXLEN + 1] = { 0 };
__int64 phi[MAXLEN + 1] = { 0 };//避免累加的过程中数据溢出int main() {int ordNum = 1;int i, j;phi[1] = 1;for (i = 2; i <= MAXLEN; i++) {if (!check[i]) {prime[ordNum++] = i;phi[i] = (__int64)i - 1;//见欧拉函数性质}for (j = 1; j <= ordNum; j++) {if (i * prime[j] > MAXLEN)break;check[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}else phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];//见欧拉函数的性质}}for (i = 2; i <= MAXLEN;i++) {//前缀和phi[i] += phi[i - 1];}int T;scanf_s("%d", &T);while (T--) {int a, b;scanf_s("%d %d", &a, &b);printf("%I64d\n", phi[b] - phi[a - 1]);}return 0;
}

另外，这道题时限较松，也可以用埃氏筛法来写，大家可以试试！有更好的解法欢迎在评论区留言！