定义

假设节流膨胀在dpdpdp的压差下进行，温度变化为dTdTdT，定义焦耳-汤姆逊系数
μJ−T=(∂T∂p)H{\mu _{J - T}}{\rm{ = }}{\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_H} μJ−T=(∂p∂T)H
下标HHH表示恒焓过程。该系数表示经节流膨胀气体的温度随压力的变化率。

引理

如uuu和vvv是xxx、yyy的函数，雅可比行列式定义为
∂(u,v)∂(x,y)=∣∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y∣=∂u∂x⋅∂v∂y−∂u∂y⋅∂v∂x\frac{{\partial \left( {u,v} \right)}}{{\partial \left( {x,y} \right)}}= \begin{vmatrix} {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}}\\ {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} & {\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \end{vmatrix} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\cdot{\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} - \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\cdot{\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} ∂(x,y)∂(u,v)=∣∣∣∣∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣∣∣∣∣=∂x∂u⋅∂y∂v−∂y∂u⋅∂x∂v

例题

例1

证明:
μ=1Cp[T(∂V∂T)p−V]\mu {\rm{ = }}\frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)}_p} - V} \right] μ=Cp1[T(∂T∂V)p−V]
利用
(∂U∂V)T=T(∂p∂T)V−p{\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial V}}} \right)_T} = T{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)_V} - p (∂V∂U)T=T(∂T∂p)V−p
证明:
μ=1Cp[T(∂V∂T)p−V]\mu {\rm{ = }}\frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)}_p} - V} \right] μ=Cp1[T(∂T∂V)p−V]

1.证明:
利用雅可比行列式可得
μ=(∂T∂p)H=∂(T,H)∂(p,H)=∂(T,H)∂(T,p)⋅∂(T,p)∂(p,H)=−(∂H∂p)T(∂H∂T)p\mu = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_H}=\frac{{\partial \left( {T,H} \right)}}{{\partial \left( {p,H} \right)}}\\ =\frac{{\partial \left( {T,H} \right)}}{{\partial \left( {T,p} \right)}}\cdot\frac{{\partial \left( {T,p} \right)}}{{\partial \left( {p,H} \right)}}\\ =-\frac{{{{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial p}}} \right)}_T}}}{{{{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial T}}} \right)}_p}}} μ=(∂p∂T)H=∂(p,H)∂(T,H)=∂(T,p)∂(T,H)⋅∂(p,H)∂(T,p)=−(∂T∂H)p(∂p∂H)T
用焓的全微分公式dH=TdS+VdpdH=TdS+VdpdH=TdS+Vdp,可得
(∂H∂T)p=T(∂S∂T)p=Cp(∂H∂p)T=T(∂S∂p)T+V=−T(∂V∂T)p+Vμ=1Cp[T(∂V∂T)p−V]{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial T}}} \right)_p} = T{\left( {\frac{{\partial S}}{{\partial T}}} \right)_p} = {C_p}\\ {\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial p}}} \right)_T} = T{\left( {\frac{{\partial S}}{{\partial p}}} \right)_T} + V = - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} + V\\ \mu = \frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)}_p} - V} \right] (∂T∂H)p=T(∂T∂S)p=Cp(∂p∂H)T=T(∂p∂S)T+V=−T(∂T∂V)p+Vμ=Cp1[T(∂T∂V)p−V]

2.证明:
μ=(∂T∂p)H=−(∂T∂H)p(∂H∂p)T=−1Cp(∂H∂p)T(∂H∂p)T=(∂U∂p)T+(∂(pV)∂p)T=(∂U∂V)T(∂V∂p)T+p(∂V∂p)T+V=T(∂p∂T)V(∂V∂p)T+V=V−T(∂V∂T)pμ=1Cp[T(∂V∂T)p−V]\mu = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_H} = - {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial H}}} \right)_p}{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial p}}} \right)_T} = - \frac{1}{{{C_p}}}{\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial p}}} \right)_T}\\ {\left( {\frac{{\partial H}}{{\partial p}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial p}}} \right)_T} + {\left( {\frac{{\partial \left( {pV} \right)}}{{\partial p}}} \right)_T} = {\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial V}}} \right)_T}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_T} + p{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_T} + V\\ = T{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)_V}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)_T} + V = V - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p}\\ \mu = \frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)}_p} - V} \right] μ=(∂p∂T)H=−(∂H∂T)p(∂p∂H)T=−Cp1(∂p∂H)T(∂p∂H)T=(∂p∂U)T+(∂p∂(pV))T=(∂V∂U)T(∂p∂V)T+p(∂p∂V)T+V=T(∂T∂p)V(∂p∂V)T+V=V−T(∂T∂V)pμ=Cp1[T(∂T∂V)p−V]

例2

绝热膨胀中，设
μS=(∂T∂p)S{\mu _S} = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_S} μS=(∂p∂T)S
证明:
μS−μ=VCp{\mu _S} - \mu = \frac{V}{{{C_p}}} μS−μ=CpV

证明:
μS=(∂T∂p)S=(∂V∂S)p,μ=1Cp[T(∂V∂T)p−V]Cp(μS−μ)=Cp(∂V∂S)p−T(∂V∂T)p+V=T(∂S∂T)p(∂V∂S)p−T(∂V∂T)p+V=T(∂V∂T)p−T(∂V∂T)p+V=V{\mu _S} = {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial p}}} \right)_S} = {\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial S}}} \right)_p},\mu {\rm{ = }}\frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)}_p} - V} \right]\\ {C_p}\left( {{\mu _S} - \mu } \right) = {C_p}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial S}}} \right)_p} - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} + V\\ = T{\left( {\frac{{\partial S}}{{\partial T}}} \right)_p}{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial S}}} \right)_p} - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} + V\\ = T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} - T{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial T}}} \right)_p} + V\\ = V μS=(∂p∂T)S=(∂S∂V)p,μ=Cp1[T(∂T∂V)p−V]Cp(μS−μ)=Cp(∂S∂V)p−T(∂T∂V)p+V=T(∂T∂S)p(∂S∂V)p−T(∂T∂V)p+V=T(∂T∂V)p−T(∂T∂V)p+V=V

其他形式

焦耳-汤姆逊系数系数还有其他形式，但是本质上和例1是一样的。
μ=−1Cp[(∂U∂p)T+∂(pV)∂p]T=−V(∂p∂V)T+T(∂p∂T)VCp(∂p∂V)T=−1Cp[T(∂p∂T)V(∂V∂p)T+V]\mu = - \frac{1}{{{C_p}}}{\left[ {{{\left( {\frac{{\partial U}}{{\partial p}}} \right)}_T} + \frac{{\partial \left( {pV} \right)}}{{\partial p}}} \right]_T}\\ = - \frac{{V{{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial V}}} \right)}_T} + T{{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)}_V}}}{{{C_p}{{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial V}}} \right)}_T}}}\\ = - \frac{1}{{{C_p}}}\left[ {T{{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial T}}} \right)}_V}{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial p}}} \right)}_T} + V} \right] μ=−Cp1[(∂p∂U)T+∂p∂(pV)]T=−Cp(∂V∂p)TV(∂V∂p)T+T(∂T∂p)V=−Cp1[T(∂T∂p)V(∂p∂V)T+V]

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几个焦耳-汤姆逊(Joule-Thomson)系数的证明题

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