FFT—快速傅里叶变换算法—

1.为什么需要FFT?

任何连续测量的时域信号都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。以累加的方式来计算该信号中不同信号的频率、振幅和相位。有些信号在时域很难看出什么特征，但是如果变换到频率之后，就很容易看出特征了，这就是很多信号要采用FFT的原因。

2.变换如何进行的？

按照变换输入信号的类型不同，傅里叶变换分为四种类型：

1非周期连续信号傅里叶变换（FT）

2周期连续信号傅里叶变换（FS）

3非周期离散信号离散时域傅里叶变换（DTFT）

4周期离散信号离散傅里叶变换（DFT）

我们只研究离散信号，因为单片机只能处理离散信号，最终的目的是让单片机来处理的。所以对于离散信号变换只有离散傅里叶变换才能被适用。单片机只能处理一些离散的有限长的数据，我们要研究的FFT也就是DFT的一种快速算法。

DFT的运算过程：

X(K) — 频域值

x(n) — 时域采样点

n — 时域采样点的序列索引

k — 频域值的索引

N — 进行转换的采样数量

以一个4个点的DFT变换来简单说明FFT是怎样实现快速算法的：

计算得出：

X(0) = x(0)e-j0+ x(1)e-j0+ x(2)e-j0+ x(3)e-j0

X(1) = x(0)e-j0 + x(1)e-jπ/2+ x(2)e-jπ+ x(3)e-jπ3/2

X(2) = x(0)e-j0+ x(1)e-jπ+ x(2)e-j2π+ x(3)e-jπ3

X(3) = x(0)e-j0+ x(1)e-j3π/2+ x(2)e-j3π+ x(3)e-j9π/2

其中红色部分是FFT必须计算的分量，蓝色部分不需要计算，有红色部分直接推倒出来，比如： x(1)e-j0 = - 1 x(1)e-jπ x(2)e-j0 = x(2)e-j2π …….因此，FFT与DFT相比大大减少了计算量。

3.变换前后信号有何种对应关系？

假设采样频率为Fs，信号频率为F，采样点为N。那么经过FFT之后结果就是一个N点的复数。这个点的模值就是频率值下的幅度特性。假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每一个点（除第一个直流分量外）的模值就是A的N2倍，而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每一个点的相位就是该频率下的信号相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析精确到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析精确到0.5Hz。如果要提高频率分辨率，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

4.Matlab测试demo

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
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Adc=2; %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');

原始信号

FFT模值

幅度-频率曲线

相位-频率曲线