fft（快速傅里叶变换）学习草稿，逆dft证明

先上最原始的式子（模 n n n意义下）：

ci=∑j=0iaj∗bi−j" role="presentation">ci=∑j=0iaj∗bi−jci=∑j=0iaj∗bi−j

c_i=\sum_{j=0}^{i}a_j*b_{i-j}
变形一下：

ci=∑j∑kaj∗bk∗[−i+j+k==0](1) c i = ∑ j ∑ k a j ∗ b k ∗ [ − i + j + k == 0 ] ( 1 )

c_i=\sum_{j}\sum_{k}a_j*b_k*[-i+j+k==0](1)
考虑怎么判断一个数是否等于0，观察下面的式子：

[p==0]=∑n−1i=0wipn(w是单位复数根) [ p == 0 ] = ∑ i = 0 n − 1 w i p n ( w 是单位复数根 )

[p==0]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}w^{ip}}{n}(w是单位复数根)
现在要证明它是对的
1.当 p=0 p = 0 p=0时， i∗p=0 i ∗ p = 0 i*p=0，所以 wip=1 w i p = 1 w^{ip}=1，而总共有 n n n项，除n" role="presentation" style="position: relative;">nnn后恰好等于1。
2.当 p≠0 p ≠ 0 p\not=0时，直接用等比数列求和。

Sn=a1∗1−qn1−q，代数进去Sn=w0∗1−wpn1−wp，由于wn=1，所以Sn=0 S n = a 1 ∗ 1 − q n 1 − q ，代数进去 S n = w 0 ∗ 1 − w p n 1 − w p ，由于 w n = 1 ，所以 S n = 0

S_n=a1*\frac{1-q^n}{1-q}，代数进去 \\ S_n=w^0*\frac{1-w^{pn}}{1-w^p}，由于w^n=1，所以 \\ S_n=0
得证。

那么把 [p==0]=∑n−1i=0wipn [ p == 0 ] = ∑ i = 0 n − 1 w i p n [p==0]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}w^{ip}}{n}代入 (1) ( 1 ) (1)

ci=∑j∑kaj∗bk∗[−i+j+k==0]ci=1n∑j∑kaj∗bk∑l=0n−1w−il∗wjl∗wklci=1n∑l=0n−1w−il∗(∑j=0n−1aj∗wjl)∗(∑k=0n−1bk∗wkl) c i = ∑ j ∑ k a j ∗ b k ∗ [ − i + j + k == 0 ] c i = 1 n ∑ j ∑ k a j ∗ b k ∑ l = 0 n − 1 w − i l ∗ w j l ∗ w k l c i = 1 n ∑ l = 0 n − 1 w − i l ∗ ( ∑ j = 0 n − 1 a j ∗ w j l ) ∗ ( ∑ k = 0 n − 1 b k ∗ w k l )

c_i=\sum_{j}\sum_{k}a_j*b_k*[-i+j+k==0] \\ c_i=\frac{1}{n}\sum_{j}\sum_{k}a_j*b_k\sum_{l=0}^{n-1}w^{-il}*w^{jl}*w^{kl} \\ c_i=\frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1}w^{-il}*(\sum_{j=0}^{n-1}a_j*w^{jl})*(\sum_{k=0}^{n-1}b_k*w^{kl})
对应到dft上， ∑n−1l=0∑n−1j=0aj∗wjl ∑ l = 0 n − 1 ∑ j = 0 n − 1 a j ∗ w j l \sum_{l=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j*w^{jl}和 ∑n−1l=0∑n−1k=0bk∗wkl ∑ l = 0 n − 1 ∑ k = 0 n − 1 b k ∗ w k l \sum_{l=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}b_k*w^{kl}相当于对 a,b a , b a,b数组各做一次dft，而为了最后得到 ci c i c_i还要把 a,b a , b a,b对应的点值乘起来，设 dl=(∑n−1j=0aj∗wjl)∗(∑n−1k=0bk∗wkl) d l = ( ∑ j = 0 n − 1 a j ∗ w j l ) ∗ ( ∑ k = 0 n − 1 b k ∗ w k l ) d_l=(\sum_{j=0}^{n-1}a_j*w^{jl})*(\sum_{k=0}^{n-1}b_k*w^{kl})，即

ci=1n∑l=0n−1w−il∗dl c i = 1 n ∑ l = 0 n − 1 w − i l ∗ d l

c_i=\frac{1}{n}\sum_{l=0}^{n-1}w^{-il}*d_l
这就是我们熟悉的逆dft！这样就证明了逆dft的由来。%fzr大爷！

fft（快速傅里叶变换）学习草稿，逆dft证明相关推荐

FFT快速傅里叶变换超详细的入门学习总结
FFT快速傅里叶变换说明本文创作的目的是为自己巩固该算法,加深印象并深入理解,同时也为FFT入门学者提供一份可鉴的学习总结. 原文链接:https://blog.csdn.net/qq_39565 ...
快速傅里叶变换学习笔记(更新中)
快速傅里叶变换(FFT)学习笔记简介快速傅里叶变换($ \rm Fast Fourier Transformation $), 简称 $\rm FFT$, 用于在 $ \Theta(n\log ...
【经典算法实现 44】理解二维FFT快速傅里叶变换及 IFFT快速傅里叶逆变换（迭代法和递归法）
[经典算法实现 44]理解二维FFT快速傅里叶变换及 IFFT快速傅里叶逆变换(迭代法和递归法) 一.二维FFTFFTFFT快速傅里叶变换公式推导二.二维FFTFFTFFT 及 IFFTIF ...
FFT快速傅里叶变换C语言实现信号处理对振动信号进行实现时域到频域的转换
FFT快速傅里叶变换C语言实现信号处理对振动信号进行实现时域到频域的转换,可实现FFT8192个点或改成其他FFT1024.4096等等,可以直接运行,运行结果与matlab运行的一致,写好了注释, ...
c语言fft乘法步骤,C语言实现FFT(快速傅里叶变换).doc
C语言实现FFT(快速傅里叶变换) 择蚁牙幸帆揣邓淌港烬粹甩滋整维含兔忿茂慨渔下餐随扼哇房坏鹅穆礼围引介害芝共茨恿把喜恤寇杖除冕嗓停揍猫调锚遭傀个碱晓频斌硕宾撕坪莱哩腊养掘蹄轴国繁蔬虞靡砖焙倍勾呸怀怒 ...
快速傅里叶变换c语言函数,C语言实现FFT(快速傅里叶变换)
while(1); } #include #include /********************************************************************* ...
如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度、频率（超详细含推导过程）
目录如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度.频率(超详细含推导过程) 一. 打颗栗子二. 求幅度 1. 快速傅里叶变换 2. 求出复数的绝对值 3. 归一化小结三. 求频率 1. 频率公式 ...
FFT快速傅里叶变换的应用——画单边频谱图matlab
FFT快速傅里叶变换的应用--画单边频谱图matlab 快速傅里叶变换在数字信号处理里用的十分广泛,在matlab仿真中,处理信号的时频域变换十分有效,这里结合两个做过的仿真,来说一说fft的应用:画 ...
FFT 快速傅里叶变换初探
一直认为很高深的东西其实也并不很难. 以下内容部分来自qy大神的ppt,同时结合了自己的理解.但理解还不是很深,需要继续研究. 开头首先什么是傅里叶变换:傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三 ...

fft（快速傅里叶变换）学习草稿，逆dft证明

fft（快速傅里叶变换）学习草稿，逆dft证明相关推荐

最新文章

热门文章