ARIMA模型——平稳时间序列分析

利用arima函数 对平稳序列拟合自回归模型AR，移动平均模型MA，自回归移动平均模型ARMA。按照如下步骤：

模型识别（定阶）
参数估计
模型检验
模型优化
预测

例 选择合适的模型拟合1950-2008我国邮路及农村投递线路每年新增里程序列

模型识别

首先，读取数据，绘制时序图，并做纯随机性检验

a<-read.table("E:/R/data/file8.csv",sep=",",header = T)
x<-ts(a$kilometer,start = 1950)
plot(x)
for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung-Box",lag=6*i))

从时序图可以看出，序列平稳，纯随机性检验的结果显示序列不是纯随机序列。

然后绘制自相关图和偏自相关图，输入：

acf(x)
pacf(x)

自相关图显示：除了延迟1~3阶的自相关系数在两倍标准差以外，其他各阶自相关系数都在两倍标准差之内，且自相关系数衰减的过程呈现类似正旋波动的形态，这是自相关系数拖尾的一种典型。

偏自相关图显示：除了延迟1~2阶的偏自相关系数在两倍标准差之外，其他各阶偏自相关系数都在两倍标准差之内，且偏自相关系数衰减的过程非常迅速，因此偏自相关系数2阶结尾。

根据以上特点，可以初步确定模型为AR(2)

2.参数估计

调用arima函数完成参数估计，命令格式为：

arima(x,order=,include.mean=,method=)

其中：x:要拟合的序列名

order:指定模型的阶数，order=c(p,d,q)

include.mean:是否包含常数项

include.mean=T,需要拟合常数项（默认）
include.mean=F,不需要拟合常数项

method:指定参数估计得方法

method="CSS",条件最小二乘
method="ML"极大似然估计
method="CSS-ML"两种方法混合

本例采用极大似然估计法,输入:

a<-read.table("E:/R/data/file8.csv",sep=",",header = T)
x<-ts(a$kilometer,start=1950)
x.fit<-arima(x,order = c(2,0,0),method = "ML")
x.fit

得出模型为:

或者等价写作：

3 .模型检验

包括对模型的显著性检验和对参数的显著性检验

对模型的显著性检验，即使检验参差序列是否为纯随机序列，用Box.test函数即可完成，输入：

for(i in 1:2) print(Box.test(x.fit$residual,lag=6*i))

从输出结果显示，p值较大，不能拒绝原假设，即参差序列为白噪声序列，因此，本模型为显著的

2.参数的显著性检验，即检验本模型中常数项μ和系数φ1，φ2是否显著，R不提供t检验的结果，但可根据参数估计值和标准差，计算t统计量的值，再调用t分布的p值函数pt计算相应的p值。在本例中，检验常数项的显著性，可输入：

t0=11.0223/3.0906

pt(t0,df=56,lower.tail = F)

输出p值：0.0003748601

可见，常数项是显著的，同理可以检验系数也是显著的

4.模型优化

如果有两个或以上模型都是显著，则可以比较这些模型的信息量AIC,AICC,BIC,按最小信息量准则来选择最优模型信息量为524.46：

，本例模型AIC

5.模型预测

下载并调用forecast程序包，可用forecast函数进行预测，命令格式为：

forecast(object,h=,level=)

其中：object:拟合信息文件名

h:预测期数

level:置信区间置信水平，默认给出80%和95%的置信区间

在本例中，要预测未来5年的序列值，可输入：

library(forecast)
x.fore<-forecast(x.fit,h=5)
x.fore
plot(x.fore)

则可观察预测图

也可个性化输出预测图

L1<-x.fore$fitted-1.96*sqrt(x.fit$sigma2)
U1<-x.fore$fitted+1.96*sqrt(x.fit$sigma2)
L2<-ts(x.fore$lower[,2],start = 2009)
U2<-ts(x.fore$upper[,2],start = 2009)
c1<-min(x,L1,L2)
c2<-max(x,L2,U2)
plot(x,type = "p",pch=8,xlim = c(1950,2013),ylim = c(c1,c2))
lines(x.fore$fitted,col=2,lwd=2)
lines(x.fore$mean,col=2,lwd=2)
lines(L1,col=4,lty=2)
lines(L2,col=4,lty=2)
lines(U1,col=4,lty=2)
lines(U2,col=4,lty=2)

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