UA OPTI512R 傅立叶光学导论1 为什么光学需要傅立叶变换

Maxwell方程回顾
Time-Harmonic Field
Huygens-Fresnel原理

这个系列是我这学期学傅里叶光学导论的笔记了，主要内容是用线性系统、傅里叶变换等工具处理物理光学问题，希望到12月份期末考的时候能拿A啦。第一篇用两个例子讨论的是为什么研究光学需要这些工具。

Maxwell方程回顾

先回顾一下Maxwell方程组，涉及到的重要物理量为
E⃗:ElectricfieldH⃗:MagneticfieldD⃗:ElectricfluxB⃗:MagneticfluxJ⃗:Currentdensityρ:Chargedensity\vec E:Electric\ field \\ \vec H:Magnetic\ field \\ \vec D: Electric\ flux \\ \vec B: Magnetic \ flux \\ \vec J: Current \ density \\ \rho: Charge \ densityE:Electric fieldH:Magnetic fieldD:Electric fluxB:Magnetic fluxJ:Current densityρ:Charge density

其中
D⃗=ϵ⃗⃗E⃗,B⃗=μ⃗⃗H⃗\vec D = \vec{\vec{\epsilon}}\vec E, \vec B = \vec {\vec {\mu}}\vec HD=ϵE,B=μH

ϵ,μ\epsilon,\muϵ,μ分别是permittivity与permeability，它们代表介质的性质，符号上两个箭头表示张量，如果ϵ,μ\epsilon,\muϵ,μ是与E⃗,H⃗\vec E,\vec HE,H无关的量，就称这种介质为线性（linear，简记为L）介质；如果ϵ,μ\epsilon,\muϵ,μ是对角的、且各自的对角元相等，就称这种介质为各向同性（isometric，简记为I）介质；如果ϵ,μ\epsilon,\muϵ,μ是与空间无关坐标的，就称这种介质为同质的（homogeneous，简记为H）。对于LIH介质，
μ=μ0μr,ϵ=ϵ0ϵr\mu = \mu_0\mu_r,\epsilon = \epsilon_0\epsilon_rμ=μ0μr,ϵ=ϵ0ϵr

其中μr,ϵr\mu_r,\epsilon_rμr,ϵr分别是relative permeability与relative permittivity。

这些物理量之间满足的方程组为
{∇×E⃗=−∂B∂t:Faraday′sLaw∇×H⃗=∂D⃗∂t+J⃗:Ampere′sLaw∇⋅B⃗=0∇⋅D⃗=ρ:Gauss′sLaw\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}:Faraday's\ Law \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}+\vec J:Ampere's\ Law \\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \cdot \vec D= \rho: Gauss's\ Law \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∇×E=−∂t∂B:Faraday′s Law∇×H=∂t∂D+J:Ampere′s Law∇⋅B=0∇⋅D=ρ:Gauss′s Law

Maxwell方程组是电磁理论的基础，当然也就是物理光学的重要基础之一，在不同情形下可以根据介质与电磁场的source等条件对Maxwell方程修正，比如Source-free（ρ=0,J⃗=0\rho=0,\vec J=0ρ=0,J=0） LIH介质：
{∇×E⃗=−∂B∂t∇×H⃗=∂D⃗∂t∇⋅B⃗=0∇⋅D⃗=0\begin{cases} \nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}\\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \cdot \vec D=0 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∇×E=−∂t∂B∇×H=∂t∂D∇⋅B=0∇⋅D=0

这门课程讨论的重要就是这类问题。

Time-Harmonic Field

Source-free LIH介质下的Maxwell方程的一类解可以用Time-Harmonic field表示：
E⃗(r⃗,t)=Re[E~∗(r⃗)ejwt]\vec E (\vec r,t)=Re[\tilde E^*(\vec r)e^{jwt}]E(r,t)=Re[E~∗(r)ejwt]

其中www是角频率，w=2πfw=2\pi fw=2πf，E~(r⃗)\tilde E(\vec r)E~(r)表示电场的空间分布，e−jwte^{-jwt}e−jwt表示电场随时间的震荡，随时间与空间的变化可以用两个因子分别表示，也就是不同空间位置的电场随时间震荡的特性是一样的，这是time-harmonic field的重要特征。

将Time-Harmonic field的表达式代入Maxwell方程中，比如代入Faraday‘s Law中，
ejwt∇×E~∗(r⃗)=−B~∗(r⃗)∂∂tejwt=−jwμH~∗(r⃗)ejwte^{jwt}\nabla \times \tilde E^*(\vec r) = -\tilde B^*(\vec r)\frac{\partial}{\partial t} e^{jwt} = -jw\mu \tilde H^*(\vec r)e^{jwt}ejwt∇×E~∗(r)=−B~∗(r)∂t∂ejwt=−jwμH~∗(r)ejwt

这样就可以把含时项约掉
∇×E~∗(r⃗)=−jwμH~∗(r⃗)\nabla \times \tilde E^*(\vec r)=-jw\mu \tilde H^*(\vec r)∇×E~∗(r)=−jwμH~∗(r)

Maxwell方程组中其他几个方程也可以被类似方法简化，约去时间项，最后剩下的方程为
∇×E~∗(r⃗)=−jwμH~∗(r⃗)∇×H~∗(r⃗)=jwϵE~∗(r⃗)∇⋅E~∗(r⃗)=0∇⋅H~∗(r⃗)=0\nabla \times \tilde E^*(\vec r)=-jw\mu \tilde H^*(\vec r)\\ \nabla \times \tilde H^*(\vec r)=jw\epsilon \tilde E^*(\vec r) \\ \nabla \cdot \tilde E^*(\vec r) = 0 \\ \nabla \cdot \tilde H^*(\vec r) = 0∇×E~∗(r)=−jwμH~∗(r)∇×H~∗(r)=jwϵE~∗(r)∇⋅E~∗(r)=0∇⋅H~∗(r)=0

到这里就很清楚了，这些方程和static problems中的Maxwell方程完全一样，于是我们可以用Green函数法、正交函数法等一系列标准解法来解。

但是在光学中，通常一个光源发出的光不会是单频的，也就是在处理光学问题时，应该假设电场是不同频率光的电场的叠加：
E⃗(r⃗,t)=Re[∫−∞+∞E~∗(r⃗,w)ejwtdw]\vec E(\vec r,t)=Re[\int_{-\infty}^{+\infty} \tilde E^*(\vec r,w)e^{jwt}dw]E(r,t)=Re[∫−∞+∞E~∗(r,w)ejwtdw]

当光的频率有很多的时候，显然先求解Maxwell方程得到单频的电场再将所有电场叠加得到光的电场的方法计算量太大了，再加上上面的叠加式其实就是说电场在空间-频率坐标中的分布就是电场在时空中的分布的傅里叶变换，这就提供了可以简便计算得到多频光电场的方法。

Huygens-Fresnel原理

惠更斯原理的思想很简单，就是在研究波的传播的时候，可以把波前上的每一点都看成是一个新的点波源，观察者看到的波形其实就是所有这些点波源发出的波在观察者所在位置的叠加。虽然听上去很简单，但这个原理非常有用，在还没有Maxwell方程的时候，通过惠更斯原理就可以预测出电磁波的表达式。

比如初始状态为E0(x′,y′,0)E_0(x',y',0)E0(x′,y′,0)的电场，经过一段时间后传播到了(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)处，要计算E(x,y,z)E(x,y,z)E(x,y,z)，根据惠更斯原理，假设(x′,y′,0)(x',y',0)(x′,y′,0)的位置上有一个点光源，它在(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)处电场分布为
E0(x′,y′)ejkrrE_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}E0(x′,y′)rejkr

其中kkk是波数，k=2π/λk=2\pi/\lambdak=2π/λ，
r=(x−x′)2+(y−y′)2+z2r = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2}r=(x−x′)2+(y−y′)2+z2

于是一定有
E(x,y,z)∝∬−∞+∞E0(x′,y′)ejkrrdx′dy′E(x,y,z) \propto \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}dx'dy'E(x,y,z)∝∬−∞+∞E0(x′,y′)rejkrdx′dy′

后来Fresnel修正了这个结果，得到了更准确的表达式
E(x,y,z)=1jλ∬−∞+∞E0(x′,y′)ejkrrcos⁡(θ)dx′dy′E(x,y,z) = \frac{1}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r}\cos(\theta)dx'dy'E(x,y,z)=jλ1∬−∞+∞E0(x′,y′)rejkrcos(θ)dx′dy′

其中θ\thetaθ是从(x′,y′,0)(x',y',0)(x′,y′,0)到(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)的向量与zzz方向的夹角，
cos⁡(θ)=zr\cos(\theta) = \frac{z}{r}cos(θ)=rz

于是
E(x,y,z)=zjλ∬−∞+∞E0(x′,y′)ejkrr2dx′dy′E(x,y,z) = \frac{z}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')\frac{e^{jkr}}{r^2}dx'dy'E(x,y,z)=jλz∬−∞+∞E0(x′,y′)r2ejkrdx′dy′

记
K(x−x′,y−y′,z,λ)=ejkrr2K(x-x',y-y',z,\lambda)=\frac{e^{jkr}}{r^2}K(x−x′,y−y′,z,λ)=r2ejkr

这其实是电磁辐射问题中非常常用的一个因子，与距离平方成反比体现了库仑律，指数项则代表了电磁波在空间中的震荡，
E(x,y,z)=zjλ∬−∞+∞E0(x′,y′)K(x−x′,y−y′,z,λ)dx′dy′E(x,y,z) = \frac{z}{j\lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}E_0(x',y')K(x-x',y-y',z,\lambda)dx'dy'E(x,y,z)=jλz∬−∞+∞E0(x′,y′)K(x−x′,y−y′,z,λ)dx′dy′

这其实就是E0(x′,y′)E_0(x',y')E0(x′,y′)与K(x−x′,y−y′,z,λ)K(x-x',y-y',z,\lambda)K(x−x′,y−y′,z,λ)的卷积，因此为了从理论上研究电磁波的传播与初始状态的关系，也是为了设计更加简便的数值计算方法，我们都是需要引入卷积理论的。