Round14—最小生成树

知识点：

知道什么是最小生成树，知道最小生成树的两种算法。最好是两种都知道。

单选题:

1-1给定有权无向图的邻接矩阵如下，其最小生成树的总权重是：(3分)

解析：在做选择题的时候，我更倾向与kruskal算法。

2-3给定有权无向图的邻接矩阵如下，其最小生成树的总权重是：(3分)

解析：我们按照贪心的思想，也就是kruskal算法每次增加当前剩余的权值最小边，检查是否形成环如果成环就跳过否则就加入。

2-4给定有权无向图如下。关于其最小生成树，下列哪句是对的？ (3分)

最小生成树不唯一，其总权重为23
最小生成树唯一，其总权重为20
边(B, F)一定在树中，树的总权重为23
边(H, G)一定在树中，树的总权重为20

解析：按照kruskal算法。

2-5给定有权无向图如下。关于其最小生成树，下列哪句是对的？ (3分)

边(B, A)一定在树中，树的总权重为23
边(D, C)一定在树中，树的总权重为20
最小生成树不唯一，其总权重为23
最小生成树唯一，其总权重为20

解析：同上。

编程题：

7-1 畅通工程之局部最小花费问题 (35 分)

某地区经过对城镇交通状况的调查，得到现有城镇间快速道路的统计数据，并提出“畅通工程”的目标：使整个地区任何两个城镇间都可以实现快速交通（但不一定有直接的快速道路相连，只要互相间接通过快速路可达即可）。现得到城镇道路统计表，表中列出了任意两城镇间修建快速路的费用，以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序，计算出全地区畅通需要的最低成本。

输入格式:

输入的第一行给出村庄数目N (1≤N≤100)；随后的N(N−1)/2行对应村庄间道路的成本及修建状态：每行给出4个正整数，分别是两个村庄的编号（从1编号到N），此两村庄间道路的成本，以及修建状态 — 1表示已建，0表示未建。

输出格式:

输出全省畅通需要的最低成本。

输入样例:

输出样例:

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 1000 + 5;
int N;
struct Edge {int x, y;int w, flag;Edge(int x, int y, int w, int flag) : x(x), y(y), w(w), flag(flag) {}bool operator < (const Edge &rhs) const {if(flag != rhs.flag) {return flag > rhs.flag;} else if(flag == rhs.flag) {return w < rhs.w;}}
};
vector<Edge> edge;
int F[maxn];int Find(int x) {return x == F[x] ? F[x] : F[x] = Find(F[x]);
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin >> N;for(int i = 0; i <= N; i++)F[i] = i;for(int i = 0; i < N * (N - 1) / 2; i++) {int x, y, w, flag;cin >> x >> y >> w >> flag;edge.push_back(Edge(x, y, w, flag));}int cnt = 0, ans = 0;sort(edge.begin(), edge.end());for(int i = 0; i < edge.size(); i++) {
//        cout << edge[i].x << " " << edge[i].y << " " << edge[i].w << " " << edge[i].flag << endl;
//        cout << "cnt = " << cnt << endl;int xx = Find(edge[i].x);int yy = Find(edge[i].y);if(xx != yy) {if(!edge[i].flag)ans += edge[i].w;F[xx] = yy;cnt++;}}//cout << cnt << endl;cout << ans << endl;return 0;
}

7-2 畅通工程之最低成本建设问题 (30 分)

某地区经过对城镇交通状况的调查，得到现有城镇间快速道路的统计数据，并提出“畅通工程”的目标：使整个地区任何两个城镇间都可以实现快速交通（但不一定有直接的快速道路相连，只要互相间接通过快速路可达即可）。现得到城镇道路统计表，表中列出了有可能建设成快速路的若干条道路的成本，求畅通工程需要的最低成本。

输入格式:

输入的第一行给出城镇数目N (1<N≤1000)和候选道路数目M≤3N；随后的M行，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号（从1编号到N）以及该道路改建的预算成本。

输出格式:

输出畅通工程需要的最低成本。如果输入数据不足以保证畅通，则输出“Impossible”。

输入样例1:

输出样例1:

输入样例2:

输出样例2:

Impossible

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 1000 + 5;
int N, M;
struct Edge {int x, y;int w;Edge(int x, int y, int w) : x(x), y(y), w(w) {}bool operator < (const Edge &rhs) const {return w < rhs.w;}
};
vector<Edge> edge;
int F[maxn];int Find(int x) {return x == F[x] ? F[x] : F[x] = Find(F[x]);
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin >> N >> M;for(int i = 0; i <= N; i++)F[i] = i;for(int i = 0; i < M; i++) {int x, y, w;cin >> x >> y >> w;edge.push_back(Edge(x, y, w));}int cnt = 0, ans = 0;sort(edge.begin(), edge.end());for(int i = 0; i < edge.size(); i++) {if(cnt == N - 1)break;int xx = Find(edge[i].x);int yy = Find(edge[i].y);if(xx != yy) {ans += edge[i].w;F[xx] = yy;cnt++;}}set<int> se;for(int i = 1; i <= N; i++) {se.insert(Find(i));}if(se.size() != 1)cout << "Impossible" << endl;elsecout << ans << endl;return 0;
}

注：检查图是否联通其实dfs或者是bfs遍历一次即可，然后检查是否所有的结点都被标记，如果都被标记就是连通图，否则就是不连通图。

在kruskal算法当中检查是否成环用到了并查集。

这两个题作为并查集的入门题目非常有价值，在HDU上的标记应该是浙江大学研究生复试上机的考试题。