t分布 u分布 卡方分布_三大抽样分布:卡方分布,t分布和F分布的简单理解
有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用,这是因为这三个统计量不仅有明确背景,而且其抽样分布的密度函数有显式表达式,它们被称为统计中的“三大抽样分布”。这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布和F分布。
目录
1 卡方分布(分布)
1.1 定义
1.2 性质
2 t分布
2.1 定义
2.2 性质
3 F分布
3.1 定义
3.2 性质
4 正态总体样本均值和样本方差的分布
4.1 正态变量线性函数的分布
4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布
5 几个重要推论
6 总结
1 卡方分布(分布)
1.1 定义
设随机变量 X 是自由度为 n 的 χ2 随机变量, 则其概率密度函数为
表示的是一个gamma函数,它是整数k的封闭形式。gamma函数的介绍如下伽马函数的总结。
的密度函数 形状如下图
密度函数的支撑集 (即使密度函数为正的自变量的集合) 为(0, +∞), 从上图可见当自由度 n 越大, 的密度曲线越趋于对称, n
越小, 曲线越不对称. 当 n = 1, 2 时曲线是单调下降趋于 0. 当 n ≥ 3时曲线有单峰, 从 0 开始先单调上升, 在一定位置达到峰值, 然后单下降趋向于 0。
若 X ∼ , 记 ,则 称为 分布的上侧 分位数, 如下图所示。当 和 给定时可查表求出 之值,如, 等。
1.2 性质
χ2 变量具有下列性质:
2 t分布
说起t分布,首先要提一句u分布,正态分布(normal distribution)是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便,常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normaldistribution),亦称u分布。根据中心极限定理,通过抽样模拟试验表明,在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时,样本均数的分布仍服从正态分布,即N(μ,σ)。所以,对样本均数的分布进行u变换,也可变换为标准正态分布N (0,1)。
由于在实际工作中,往往σ(总体方差)是未知的,常用s(样本方差)作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布。
2.1 定义
设随机变量 T ∼ , 则其密度函数为
该密度函数的图形如下
的密度函数与标准正态分布 N(0, 1) 密度很相似, 它们都是关于原点对称, 单峰偶函数, 在 x = 0 处达到极大. 但 的峰值低于
N(0, 1) 的峰值, 的密度函数尾部都要比 N(0, 1) 的两侧尾部粗一些. 容易证明:
此处 是 N(0, 1) 变量的密度函数。
若T ∼ ,记,则为自由度为n的t分布的双侧分位数(如上图所示). 当给定 时, ,
等可通过查表求出. 例如 ,等。
t 分布是英国统计学家 W.S. Gosset 在 1908 年以笔名 Student发表的论文中提出的, 故后人称为 “学生氏 (Student) 分布” 或 “t 分
布”。
2.2 性质
t 变量具有下列的性质:
3 F分布
3.1 定义
若随机变量 Z ∼, 则其密度函数为
自由度为 m, n 的 F 分布的密度函数如下图:
注意 F 分布的自由度 m 和 n 是有顺序的, 当 时, 若将自由度 m 和 n 的顺序颠倒一下, 得到的是两个不同的 F 分布. 从上图
可见对给定 m = 10, n 取不同值时 的形状, 我们看到曲线是偏态的, n 越小偏态越严重。
若 F ∼ , 记 , 则 称为 F 分布的上侧 分位数 (见上图). 当 m, n 和 给定时, 可以通过查表求出
之值, 例如, 等. 在区间估计和假设检验问题中常常用到.
3.2 性质
F 变量具有下列的性质:
以上性质中 (1) 和 (2) 是显然的, (3) 的证明不难. 尤其性质 (3)在求区间估计和假设检验问题时会常常用到. 因为当 α 为较小的数,
如 α = 0.05 或 α = 0.01, m, n 给定时, 从已有的 F 分布表上查不到 和 之值, 但它们的值可利用性质(3) 求得, 因为 和 是可以通过查 F 分布表求得的.
4 正态总体样本均值和样本方差的分布
为方便讨论正态总体样本均值和样本方差的分布, 我们先给出正态随机变量的线性函数的分布.
4.1 正态变量线性函数的分布
4.2 正态变量样本均值和样本方差的分布
下述定理给出了正态变量样本均值和样本方差的分布和它们的独立性.
5 几个重要推论
下面几个推论在正态总体区间估计和假设检验问题中有着重要应用.
6 总结
数据在使用前要注意采用有效的方法收集数据, 如设计好抽样方案, 安排好试验等等. 只有有效的收集了数据, 才能有效地使用数据,开展统计推断工作.获得数据后, 根据问题的特点和抽样方式确定抽样分布, 即统计模型. 基于统计模型, 统计推断问题可以按照如下的步骤进行:
确定用于统计推断的合适统计量;
寻求统计量的精确分布; 在统计量的精确分布难以求出的情形,可考虑利用中心极限定理或其它极限定理找出统计量的极限分布.
基于该统计量的精确分布或极限分布, 求出统计推断问题的精确解或近似解.
根据统计推断结果对问题作出解释
其中第二步是最重要, 但也是最困难的一步. 统计三大分布及正态总体下样本均值和样本方差的分布, 在寻求与正态变量有关的统计量精确分布时, 起着十分重要作用. 尤其在求区间估计和假设检验问题时可以看得十分清楚
————————————————
版权声明:本文为CSDN博主「anshuai_aw1」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接:https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201
t分布 u分布 卡方分布_三大抽样分布:卡方分布,t分布和F分布的简单理解相关推荐
- t分布 u分布 卡方分布_重要抽样分布:卡方分布(χ2分布)、t分布和F分布
冒泡~:最近在回顾一些以前学过的概率论和数理统计的知识 发现这三个抽样分布经常出现,在参数估计和假设检验也会运用到,所以做一下整理. [首先,这三个抽样分布都是来自正态总体的常用的分布 可以根据情况应 ...
- python计算卡方分布_如何用Python计算上证指数的涨跌幅分布情况?
话不多说先上代码,这个分布情况指的就是分析一下涨跌幅在每个百分比阶段各有多少天,例如0%-1%有多少天,1%-2%有多少天: import os#缓存数据class SecurityData: cou ...
- 如何证明服从卡方分布_谈谈抽样分布定理
各位阿娜答,这个月就更新了一篇文章,这都月底了,还有两次自荐机会没用,所以最后这几天要更两篇文章,大家敬请期待!明明是夏天,但却是个多事之秋啊~(ง •_•)ง 2020年注定是不平凡的一年,注定要发 ...
- 均匀分布 卡方分布_指数分布和卡方分布转换以及初试专业课试题拆封视频
指数分布和卡方分布的转换 今天先给大家补充一个对于离散分布的,写密度函数的方法,希望大家学会这种方法.再给大家介绍的是一道关于指数分布和卡方分布的转换的题目,希望大家好好掌握这道题.关于指数分布参数的 ...
- 边云协同的优点_“端、边、云”的协同如何去简单理解?
一 端边云的协同 先给大家讲个科幻的场景吧. 在好莱坞大片<摩天营救>里面,退伍军人威尔·索耶担任着世界第一高楼珍珠大厦的安保工作. 他所管理的摩天大楼突然起火,还被人栽赃成为纵火的罪魁祸 ...
- 正态分布的概率密度函数python_python绘制正态分布及三大抽样分布的概率密度图像...
目录 1.scipy库中各分布对应的方法 2.stats中各分布的常用方法及其功能 3.正态分布的概率密度函数及其图象 1)正态分布的概率密度函数及其图象 2)python绘制正态分布的概率密度函数图 ...
- 统计学名词解释 —— 6. 三大抽样分布(卡方分布、t分布、F分布)
文章目录 x2x^2x2 分布 基本概念 函数密度图像 基本性质 例题 ttt 分布 基本概念 函数密度图像 例题 FFF 分布 基本概念 函数密度图像 例题 从经验可知,大部分的样本分布服从或近似服 ...
- 详解三大抽样分布:t分布、卡方分布、F分布
转载自https://www.cnblogs.com/think-and-do/p/6509239.html T分布:温良宽厚 本文由"医学统计分析精粹"小编"Hiu&q ...
- 均匀分布 卡方分布_【Math】概率论常用分布大全
目录 离散分布 连续分布 三大常见抽样分布 1.离散分布 Bernoulli分布(0-1分布.两点分布) X~B(1,p) EX=p,DX=p(1-p) 二项分布 X~B(n,p) n很大,p很小可看 ...
- 数理统计复习笔记一——统计中常用的抽样分布(卡方分布,t分布,F分布)
前言: 总结一下数理统计中的基本概念,一些用python的实现在这里.不断持续更新. 1. 几个基本概念 1.1 次序统计量 1.2 样本偏度与样本峰度 1.3 经验分布函数 1.4 抽样 ...
最新文章
- 从源码分析DEARGUI之让怪物随机动起来
- 异步任务AsyncTask
- 第5周实践项目1 顺序栈建立的算法库
- zookeeper在window下的搭建
- shell 多行注释
- c# 计算机ip,C# 获取电脑的IP,网关,MAC,计算机名。。
- 又是一年秋来到,学习要趁早,Power BI Desktop8月更新又来了
- Java使用循环创建多个线程
- js 操作table: insertRow(),deleteRow(),insertCell(),deleteCell()方法
- 未来五年的全球绿色数据中心市场的增长趋势和预测
- 《2018春运大数据预测报告》发布:今年春运将呈现北松南紧”!
- 36 Questions for Increasing Closeness
- 鸿蒙系统可以微信吗,“微信”跟鸿蒙系统,只能选择一个,华为尴尬了
- php采集一言代码_php抓取一言数据
- 【Leetcode刷题Python】40. 组合总和 II
- 袋鼠过河问题(DP)
- 程序员的写作课:四、我们如何管理素材
- Android App 设置系统时间,语言和时区、系统重启
- PC客户端自动化测试-控件操作方法
- 湖北省高职计算机本科学校有哪些,盘点最新湖北十大高职高专院校排名,湖北最好的高职院校有哪些?...