为什么小角度的弧度值可以近似等于正切值或者正弦值？
经常在论文里发现，一些小角度的值经常等于其正切或者正弦值，而不是再经过一轮反三角函数的计算，这是什么原因？
其实，这是采用了近似计算的方式，在一些代数书中，经常可以看到这样一句话，“当角度很小时，角度的正弦函数值或者正切函数值近似相等于角度值”。那么问题来了，“角度很小”到底要多小？“近似相等”究竟有多近似？
为了回答这两个问题，我们可以做一张表格，实际分析一下。下图就是我用Excel做的表格，角度按1°递增，然后分别计算其对应的弧度值，正切值，正弦值。另外，计算了δ1和得δ2，分别对应正切值和弧度的偏差，以及正弦值和弧度值的偏差。另，下表中π的取值使用Excel中的pi()函数，精度远高于3.1415926。从表格数据可以得到如下清晰的结论：
- 所谓角度和正切/正弦相等，是指角度用弧度方式的表达，如果是用角度表达的话，偏差还是很大的。所以下面的结论不再使用角度，而是使用弧度，避免有歧义。
- 正弦和弧度的近似程度更好，这一点可以从δ2与δ1的对比观察得出，在20°范围内，大致上，正切与弧度的偏差是正弦与弧度偏差的两倍
- 正切的近似值会比弧度真实值偏大，正弦的近似值会比弧度真实值偏小
在具体使用过程中，可以参考以下的考量加以应用
- 角度在3°范围内，近似精度相当好，误差范围都在10-5弧度（5.73*10-4 度）这个水平，对于绝大多数工程应用，这个误差量级完全可以接受，换句话说，3°范围内以内，弧度值=正切值=正弦值。
- 角度在3-10°范围内，近似程度依然很好，但是在10°时，已经下降到了0.001弧度量级（0.057°）的水平，对于一些精密度要求高的工程应用，已经无法忽略此误差了。
- 如果只是用于估算目的，角度误差在1°（0.01745弧度值）情况下，使用正切，可以估算20°以内的角度，使用正弦，可以估算27°以内的角度
- 正切和正弦都是奇函数，即负弧度值只是让函数值取负，因此上述所有的结论都可以扩展成为正负区间。
总结一下核心要点
- ±3°以内，弧度=正切=正弦 （最大近似误差在10-5弧度或5.73*10-4 度量级）
- ±10°以内，最大近似误差在0.001弧度量级（0.057°）的量级
- 正弦比正切近似度更好
- 若允许1°的估算误差，正切可以估算±20°以内的角，正弦可以估算±27°以内的角
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