Lu 微分方程参数优化（拟合）
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Lu 微分方程参数优化（拟合）
例子1 数学模型：
dy/dt=k*y*z+0.095*b*z
dz/dt=-b*z-0.222*z
实验数据（ti; yi）：
ti yi
0.012.329101563
0.683.851292783
1.14.50093936
1.636.749172247
2.079.112062872
2.679.691657366
3.0911.16928013
3.6410.91451823
4.6516.44279204
5.118.29615885
5.5821.63989025
6.1125.78611421
6.6326.34282633
7.0626.50581287
7.6227.63951823
8.6635.02757626
9.0435.5562035
9.6336.10393415
已知z在t=0.01时的初值为5000，求k和b的最优值？
Lu代码1：
!!!using["luopt","math"]; //使用命名空间
f(t,y,z,dy,dz, params::k,b)=
{
dy=k*y*z+0.095*b*z,
dz=-b*z-0.222*z,
0 //必须返回0
};
目标函数(_k,_b : i,s,tyz : tyArray,tA,max,k,b)=
{
k=_k,b=_b, //传递优化变量，函数f中要用到k,b
//最后一个参数100表示gsl_ode函数在计算时,最多循环计算100次,这样可以提高速度
tyz=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(2.329101563,5000), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tyz(i,1)-tyArray(i,1)]^2},
s
};
main(::tyArray,tA,max)=
{
tyArray=matrix{ //存放实验数据ti,yi
"0.01 2.329101563
0.68 3.851292783
1.1 4.50093936
1.63 6.749172247
2.07 9.112062872
2.67 9.691657366
3.09 11.16928013
3.64 10.91451823
4.65 16.44279204
5.1 18.29615885
5.58 21.63989025
6.11 25.78611421
6.63 26.34282633
7.06 26.50581287
7.62 27.63951823
8.66 35.02757626
9.04 35.5562035
9.63 36.10393415"
},
len[tyArray,0,&max], tA=tyArray(all:0), //用len函数取矩阵的行数，tA取矩阵的列
Opt1[@目标函数] //Opt1函数全局优化
//Opt[@目标函数] //也可以使用此语句
};
结果（前面的数为最优参数，最后一个数是极小值。下同）：忽略Lu警告信息
1.408312606232919e-004 -1.465812213944895e-004 24.29124283367381
Lu代码2：优化（拟合）并绘图
!!!using["luopt","math","win"]; //使用命名空间
f(t,y,z,dy,dz,params::k,b)=
{dy=k*y*z+0.095*b*z,dz=-b*z-0.222*z,0
};
目标函数(_k,_b : i,s,tyz : tyArray,tA,max,k,b)=
{k=_k,b=_b, //传递优化变量，函数f中要用到k,btyz=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(2.329101563,5000), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tyz(i,1)-tyArray(i,1)]^2},s
};
init(main:tyz:tyArray,tA,max,k,b)=
{tyArray=matrix{ //存放实验数据ti,yi"0.01 2.3291015630.68 3.8512927831.1 4.500939361.63 6.7491722472.07 9.1120628722.67 9.6916573663.09 11.169280133.64 10.914518234.65 16.442792045.1 18.296158855.58 21.639890256.11 25.786114216.63 26.342826337.06 26.505812877.62 27.639518238.66 35.027576269.04 35.55620359.63 36.10393415"},
len[tyArray,0,&max], tA=tyArray(all:0), //用len函数取矩阵的行数，tA取矩阵的列
k=0.0, b=0.0, Opt1[@目标函数, optstarter,&k,&b,0], //Opt1函数全局优化tyz=gsl_ode[@f,nil,0.0,tyArray(all:0),ra1(2.329101563,5000), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100], //获得最终结果outa[tyz], //outa输出结果luShareX2[tyArray, tyz] //绘制共享X轴视图
};
ChartWnd[@init]; //显示窗口并初始化结果：
例子2 数学模型：需要拟合的微分方程组为:
df1/dt=a1*(x-f2)^a2,
df2/dt=a3*df1/dt-a4*f2^a5
其中：x=0.3。拟合参数为a1,a2,a3,a4,a5。试验获取的数据为（t,f1）；t=0时，f2=0.15。
t f1
0 , 0 ,
10 , 0.002174 ,
20 , 0.002663 ,
30 , 0.002934 ,
40 , 0.003113 ,
50 , 0.003248 ,
60 , 0.003354 ,
70 , 0.003442 ,
80 , 0.003514 ,
90 , 0.003578 ,
100 , 0.003635 ,
110 , 0.003686 ,
120 , 0.00373 ,
130 , 0.003774 ,
140 , 0.003813 ,
150 , 0.003847 ,
160 , 0.003882 ,
170 , 0.003913 ,
180 , 0.003942 ,
190 , 0.00397 ,
200 , 0.003996 ,
210 , 0.00402 ,
220 , 0.004044 ,
230 , 0.004067 ,
240 , 0.004087 ,
250 , 0.004107 ,
260 , 0.004126 ,
270 , 0.004143 ,
280 , 0.004159 ,
290 , 0.004174 ,
300 , 0.00419 ,
310 , 0.004207 ,
320 , 0.00422 ,
330 , 0.004235 ,
340 , 0.004248 ,
350 , 0.004263 ,
360 , 0.004276 ,
370 , 0.004287 ,
380 , 0.004301 ,
390 , 0.00431 ,
400 , 0.004323 ,
410 , 0.004333 ,
420 , 0.004344 ,
430 , 0.004352 ,
440 , 0.004362 ,
450 , 0.004375 ,
460 , 0.004383 ,
470 , 0.00439 ,
480 , 0.004399 ,
490 , 0.004408 ,
500 , 0.004416 ,
510 , 0.004424 ,
520 , 0.00443 ,
530 , 0.00444 ,
540 , 0.004449 ,
550 , 0.004453 ,
560 , 0.004458 ,
570 , 0.004468 ,
580 , 0.004474 ,
590 , 0.004483 ,
600 , 0.004488 ,
610 , 0.004494 ,
620 , 0.004499 ,
630 , 0.004505 ,
640 , 0.00451 ,
650 , 0.004516 ,
660 , 0.004522 ,
670 , 0.004527 ,
680 , 0.004532 ,
690 , 0.004537 ,
700 , 0.004541 ,
710 , 0.004548 ,
720 , 0.004552 ,
730 , 0.004557 ,
740 , 0.004561 ,
750 , 0.004566 ,
760 , 0.004569 ,
770 , 0.004575 ,
780 , 0.004579 ,
790 , 0.004584 ,
800 , 0.004589 ,
810 , 0.004594 ,
820 , 0.004596 ,
830 , 0.004601 ,
840 , 0.004604 ,
850 , 0.004609 ,
860 , 0.004611 ,
870 , 0.004614 ,
880 , 0.00462 ,
890 , 0.004622 ,
900 , 0.004626 ,
910 , 0.00463 ,
920 , 0.004632 ,
930 , 0.004636 ,
940 , 0.004638 ,
950 , 0.004641 ,
960 , 0.004647 ,
970 , 0.004649 ,
980 , 0.004653 ,
990 , 0.004655 ,
1000, 0.004658
Lu代码1：
!!!using["luopt","math"];
f(t,f1,f2,df1,df2,pp : x : a1,a2,a3,a4,a5)=
{
x=0.3,
df1=a1*(x-f2)^a2,
df2=a3*df1-a4*f2^a5,
0
};
J(_a1,_a2,_a3,_a4,_a5 : tf,i,s : tArray,tA,max,a1,a2,a3,a4,a5)=
{
a1=_a1, a2=_a2, a3=_a3, a4=_a4, a5=_a5,
tf=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(0,0.15), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tf(i,1)-tArray(i,1)]^2},
s
};
main(::tArray,tA,max)=
{
max=101,
tArray=matrix[max,2].SetArray{
0 , 0 ,
10 , 0.002174 ,
20 , 0.002663 ,
30 , 0.002934 ,
40 , 0.003113 ,
50 , 0.003248 ,
60 , 0.003354 ,
70 , 0.003442 ,
80 , 0.003514 ,
90 , 0.003578 ,
100 , 0.003635 ,
110 , 0.003686 ,
120 , 0.00373 ,
130 , 0.003774 ,
140 , 0.003813 ,
150 , 0.003847 ,
160 , 0.003882 ,
170 , 0.003913 ,
180 , 0.003942 ,
190 , 0.00397 ,
200 , 0.003996 ,
210 , 0.00402 ,
220 , 0.004044 ,
230 , 0.004067 ,
240 , 0.004087 ,
250 , 0.004107 ,
260 , 0.004126 ,
270 , 0.004143 ,
280 , 0.004159 ,
290 , 0.004174 ,
300 , 0.00419 ,
310 , 0.004207 ,
320 , 0.00422 ,
330 , 0.004235 ,
340 , 0.004248 ,
350 , 0.004263 ,
360 , 0.004276 ,
370 , 0.004287 ,
380 , 0.004301 ,
390 , 0.00431 ,
400 , 0.004323 ,
410 , 0.004333 ,
420 , 0.004344 ,
430 , 0.004352 ,
440 , 0.004362 ,
450 , 0.004375 ,
460 , 0.004383 ,
470 , 0.00439 ,
480 , 0.004399 ,
490 , 0.004408 ,
500 , 0.004416 ,
510 , 0.004424 ,
520 , 0.00443 ,
530 , 0.00444 ,
540 , 0.004449 ,
550 , 0.004453 ,
560 , 0.004458 ,
570 , 0.004468 ,
580 , 0.004474 ,
590 , 0.004483 ,
600 , 0.004488 ,
610 , 0.004494 ,
620 , 0.004499 ,
630 , 0.004505 ,
640 , 0.00451 ,
650 , 0.004516 ,
660 , 0.004522 ,
670 , 0.004527 ,
680 , 0.004532 ,
690 , 0.004537 ,
700 , 0.004541 ,
710 , 0.004548 ,
720 , 0.004552 ,
730 , 0.004557 ,
740 , 0.004561 ,
750 , 0.004566 ,
760 , 0.004569 ,
770 , 0.004575 ,
780 , 0.004579 ,
790 , 0.004584 ,
800 , 0.004589 ,
810 , 0.004594 ,
820 , 0.004596 ,
830 , 0.004601 ,
840 , 0.004604 ,
850 , 0.004609 ,
860 , 0.004611 ,
870 , 0.004614 ,
880 , 0.00462 ,
890 , 0.004622 ,
900 , 0.004626 ,
910 , 0.00463 ,
920 , 0.004632 ,
930 , 0.004636 ,
940 , 0.004638 ,
950 , 0.004641 ,
960 , 0.004647 ,
970 , 0.004649 ,
980 , 0.004653 ,
990 , 0.004655 ,
1000, 0.004658
},
tA=tArray(all,0),
Opt1[@J] //Opt1函数全局优化
//Opt[@目标函数] //也可以使用此语句
};
结果（没有多次运行，或许还有更优解）：
17082.05250017119 8.719683388872223 18.73041824823782 -2.443865629726595e-004 2.783118159118608 1.426677323284488e-009
Lu代码2：优化（拟合）并绘图
!!!using["luopt","math","win"];
f(t,f1,f2,df1,df2,pp : x : a1,a2,a3,a4,a5)=
{
x=0.3,
df1=a1*(x-f2)^a2,
df2=a3*df1-a4*f2^a5,
0
};
J(_a1,_a2,_a3,_a4,_a5 : tf,i,s : tArray,tA,max,a1,a2,a3,a4,a5)=
{
a1=_a1, a2=_a2, a3=_a3, a4=_a4, a5=_a5,
tf=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(0,0.15), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tf(i,1)-tArray(i,1)]^2},
s
};
init(main:tf:tArray,max,tA,a1,a2,a3,a4,a5)=
{
max=101,
tArray=matrix[max,2].SetArray{
0 , 0 ,
10 , 0.002174 ,
20 , 0.002663 ,
30 , 0.002934 ,
40 , 0.003113 ,
50 , 0.003248 ,
60 , 0.003354 ,
70 , 0.003442 ,
80 , 0.003514 ,
90 , 0.003578 ,
100 , 0.003635 ,
110 , 0.003686 ,
120 , 0.00373 ,
130 , 0.003774 ,
140 , 0.003813 ,
150 , 0.003847 ,
160 , 0.003882 ,
170 , 0.003913 ,
180 , 0.003942 ,
190 , 0.00397 ,
200 , 0.003996 ,
210 , 0.00402 ,
220 , 0.004044 ,
230 , 0.004067 ,
240 , 0.004087 ,
250 , 0.004107 ,
260 , 0.004126 ,
270 , 0.004143 ,
280 , 0.004159 ,
290 , 0.004174 ,
300 , 0.00419 ,
310 , 0.004207 ,
320 , 0.00422 ,
330 , 0.004235 ,
340 , 0.004248 ,
350 , 0.004263 ,
360 , 0.004276 ,
370 , 0.004287 ,
380 , 0.004301 ,
390 , 0.00431 ,
400 , 0.004323 ,
410 , 0.004333 ,
420 , 0.004344 ,
430 , 0.004352 ,
440 , 0.004362 ,
450 , 0.004375 ,
460 , 0.004383 ,
470 , 0.00439 ,
480 , 0.004399 ,
490 , 0.004408 ,
500 , 0.004416 ,
510 , 0.004424 ,
520 , 0.00443 ,
530 , 0.00444 ,
540 , 0.004449 ,
550 , 0.004453 ,
560 , 0.004458 ,
570 , 0.004468 ,
580 , 0.004474 ,
590 , 0.004483 ,
600 , 0.004488 ,
610 , 0.004494 ,
620 , 0.004499 ,
630 , 0.004505 ,
640 , 0.00451 ,
650 , 0.004516 ,
660 , 0.004522 ,
670 , 0.004527 ,
680 , 0.004532 ,
690 , 0.004537 ,
700 , 0.004541 ,
710 , 0.004548 ,
720 , 0.004552 ,
730 , 0.004557 ,
740 , 0.004561 ,
750 , 0.004566 ,
760 , 0.004569 ,
770 , 0.004575 ,
780 , 0.004579 ,
790 , 0.004584 ,
800 , 0.004589 ,
810 , 0.004594 ,
820 , 0.004596 ,
830 , 0.004601 ,
840 , 0.004604 ,
850 , 0.004609 ,
860 , 0.004611 ,
870 , 0.004614 ,
880 , 0.00462 ,
890 , 0.004622 ,
900 , 0.004626 ,
910 , 0.00463 ,
920 , 0.004632 ,
930 , 0.004636 ,
940 , 0.004638 ,
950 , 0.004641 ,
960 , 0.004647 ,
970 , 0.004649 ,
980 , 0.004653 ,
990 , 0.004655 ,
1000, 0.004658
},
tA=tArray(all:0),
a1=0.0, a2=0.0, a3=0.0, a4=0.0, a5=0.0,
Opt1[@J, optstarter,&a1,&a2,&a3,&a4,&a5,0], //Opt1函数全局优化
tf=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(0,0.15), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100], //获得最终结果
outa[tf], //输出结果
luShareX2[tArray, tf] //绘制共享X轴视图
};
ChartWnd[@init]; //显示窗口并初始化
结果：
例子3 数学模型：
有关于y1,y2,y3,y4的微分方程：
k1 = 3.5*10^4;
k2 = 1.0*10^3;
k3 = a*ka+b*kb+c*kc;
r1 = k1*y1*y2;
r2 = k2*y1*y3;
r3 = k3*y1*y4;
dy1/dt = -r1-r2-r3;
dy2/dt = -r1;
dy3/dt = -r2+r1;
dy4/dt = -r3+r2;
其中ka，kb，kc为拟合参数；常数a、b、c为已知数据；k1,k2,k3,r1,r2,r3为中间变量；t=0时，y1=30.0*10^-6; y2=10.2*10^-6; y3=4.1*10^-6; y4=6.7。
有4组数据：
当[a b c]=[100 5 20]时
t=[0, 10, 20, 30, 40]
y1=[30.0*10^-6, 17.5*10^-6, 15*10^-6, 14*10^-6, 13.5*10^-6 ]
当[a b c]=[120 15 25]时
t=[0 10 20 30 40]
y1=[30.0*10^-6, 12.5*10^-6, 10*10^-6, 8*10^-6, 7*10^-6 ]
当[a b c]=[130 25 30]时
t=[0 10 20 30 40]
y1=[30.0*10^-6, 11.5*10^-6, 9*10^-6, 7.5*10^-6, 6*10^-6 ]
当[a b c]=[140 30 35]时
t=[0 10 20 30 40]
y1=[30.0*10^-6, 10.5*10^-6, 8.5*10^-6, 6.5*10^-6, 5*10^-6 ]
求ka，kb，kc？
分析：观察式子 k3 = a*ka+b*kb+c*kc ，当[a b c]实验数据少于3组时，将有无穷组最优的ka，kb，kc。现在有4组数据，故只有一组最优解。
Lu代码：
!!!using["luopt","math"];
f(t,y1,y2,y3,y4,z1,z2,z3,z4,pp : k1,k2,k3,r1,r2,r3 : a,b,c,ka,kb,kc)=
{
k1 = 3.5e4,
k2 = 1.0e3,
k3 = a*ka+b*kb+c*kc,r1 = k1*y1*y2,
r2 = k2*y1*y3,
r3 = k3*y1*y4,z1 = -r1-r2-r3,
z2 = -r1,
z3 = -r2+r1,
z4 = -r3+r2,0
};
目标函数(kka,kkb,kkc : i,s,yy : tArray,y11Array,y12Array,y13Array,y14Array,max,a,b,c,ka,kb,kc)=
{
ka=kka, kb=kkb, kc=kkc,
s=0,a=100, b=5, c=20, //[a b c]=[100 5 20]
yy=gsl_ode[@f,nil,0.0,tArray,ra1(30.0e-6, 10.2e-6, 4.1e-6, 6.7), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, while{++i<max, s=s+[yy(i,1)-y11Array(i)]^2},a=120, b=15, c=25, //[a b c]=[120, 15, 25]
yy=gsl_ode[@f,nil,0.0,tArray,ra1(30.0e-6, 10.2e-6, 4.1e-6, 6.7), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, while{++i<max, s=s+[yy(i,1)-y12Array(i)]^2},a=130, b=25, c=30, //[a b c]=[130, 25, 30]
yy=gsl_ode[@f,nil,0.0,tArray,ra1(30.0e-6, 10.2e-6, 4.1e-6, 6.7), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, while{++i<max, s=s+[yy(i,1)-y13Array(i)]^2},a=140, b=30, c=35, //[a b c]=[140, 30, 35]
yy=gsl_ode[@f,nil,0.0,tArray,ra1(30.0e-6, 10.2e-6, 4.1e-6, 6.7), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, while{++i<max, s=s+[yy(i,1)-y14Array(i)]^2},sqrt[s/(max*4-4)]
};
main(::tArray,y11Array,y12Array,y13Array,y14Array,max)=
{
max=5,
tArray=ra1[0, 10, 20, 30, 40],
y11Array=ra1[30.0e-6, 17.5e-6, 15e-6, 14e-6, 13.5e-6],
y12Array=ra1[30.0e-6, 12.5e-6, 10e-6, 8e-6, 7e-6],
y13Array=ra1[30.0e-6, 11.5e-6, 9e-6, 7.5e-6, 6e-6],
y14Array=ra1[30.0e-6, 10.5e-6, 8.5e-6, 6.5e-6, 5e-6],
Opt1[@目标函数, optrange,-1e5,1e5,-1e5,1e5,-1e5,1e5] //Opt1函数优化
//Opt[@目标函数, optrange,-1e5,1e5,-1e5,1e5,-1e5,1e5] //也可以使用此语句
};
结果（ka,kb,kc，目标函数终值）：
9.15291371378818e-005 3.357752241197708e-004 -5.37879598667895e-004 1.178551159055296e-006
验证（t，实验值，拟合值）：
当[a b c]=[100 5 20]时
10. 1.75e-005 1.73918e-005
20. 1.5e-005 1.54895e-005
30. 1.4e-005 1.40236e-005
40. 1.35e-005 1.28548e-005
当[a b c]=[120 15 25]时
10. 1.25e-005 1.45484e-005
20. 1.e-005 1.09127e-005
30. 8.e-006 8.29305e-006
40. 7.e-006 6.35421e-006
当[a b c]=[130 25 30]时
10. 1.15e-005 1.29864e-005
20. 9.e-006 8.73647e-006
30. 7.5e-006 5.94617e-006
40. 6.e-006 4.07251e-006
当[a b c]=[140 30 35]时
10. 1.05e-005 1.30756e-005
20. 8.5e-006 8.85422e-006
30. 6.5e-006 6.06631e-006
40. 5.e-006 4.18281e-006
例子4 数学模型：
微分方程组为：
dn1/dt = a*n1*n2-b*n1;
dn2/dt = c*n1*n2;
其中a，b，c为拟合参数；t=0时，n1=n0; n2=n0。
数据：
t 1 2 3 4 5 6
n1 1 3.5 2.8 2.4 1.5 0.9
分析：由于n0未知，故共有4个拟合参数：n0,a,b,c。
Lu代码：
!!!using["luopt","math"];
f(t,n1,n2,dn1,dn2,pp ::a,b,c)=
{
dn1=a*n1*n2-b*n1,
dn2=c*n1*n2,
0
};
目标函数(n0,aa,bb,cc : i,s,nn : tArray,n1Array,max,a,b,c)=
{
a=aa, b=bb, c=cc,
nn=gsl_ode[@f,nil,0.0,tArray,ra1(n0, n0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[nn(i,1)-n1Array(i)]^2},
sqrt[s/(max-1)]
};
main(::tArray,n1Array,max)=
{
max=7, //补充数据t=0，n1取任意值（本例n1=0），故共有7组数据
tArray=ra1{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},
n1Array=ra1{0, 1, 3.5, 2.8, 2.4, 1.5, 0.9},
Opt1[@目标函数, optwaysimdeep, optwayconfra, optrange,-1e10,1e10,-1e10,1e10,-1e10,1e10,-1e10,1e10] //Opt1函数优化
//Opt[@目标函数, optwaysimdeep, optwayconfra, optrange,-1e10,1e10,-1e10,1e10,-1e10,1e10,-1e10,1e10] //也可以使用此语句
};
结果（n0,a,b,c，误差）：
4.842109347483411e-002 74.58161099198458 0.3525934220396638 -0.7028769944300635 0.1446429325392884
验证（t，实验值，拟合值）：
1. 1. 1.00662
2. 3.5 3.47867
3. 2.8 2.96124
4. 2.4 2.12753
5. 1.5 1.50219
6. 0.9 1.05743
例子5 动力学方程参数估计：
微分方程组为：dC/dt=-k0*exp{-Ea/[R*(273.15+T)]}*(A^m)*(B^n)*(C^o)
单次实验T,A,B都是固定的，而C随时间变化并测量出来，所以T,A,B可以说是可变常数，R=8.314，拟合参数为k0,Ea,m,n,o，实验数据如下：
T(℃) A B(MPa) t/min C
260 0.05 4 0 3759.7
260 0.05 4 10 2772.45
260 0.05 4 20 2100
260 0.05 4 30 1679.03
260 0.05 4 40 1356.12
260 0.05 4 50 1122.72
260 0.05 4 60 818.6
260 0.05 4 70 643.28
260 0.05 4 80 485.26
260 0.05 4 90 361.16
260 0.05 4 100 290.17
260 0.1 4 0 3759.7
260 0.1 4 10 2450
260 0.1 4 20 1803.37
260 0.1 4 30 1246.87
260 0.1 4 40 895
260 0.1 4 50 496.14
260 0.1 4 60 410.13
260 0.1 4 70 179.72
260 0.1 4 80 142.38
260 0.1 4 90 94.73
260 0.1 4 100 93.51
260 0.15 4 0 3759.7
260 0.15 4 10 2300
260 0.15 4 20 1424.68
260 0.15 4 30 884.85
260 0.15 4 40 546.36
260 0.15 4 50 336.83
260 0.15 4 60 203.33
260 0.15 4 70 117.97
260 0.15 4 80 66.95
260 0.15 4 90 54.49
260 0.15 4 100 49.41
260 0.2 4 0 3759.7
260 0.2 4 10 2150
260 0.2 4 20 1200
260 0.2 4 30 650
260 0.2 4 40 380
260 0.2 4 50 230
260 0.2 4 60 130
260 0.2 4 70 80
260 0.2 4 80 65
260 0.2 4 90 50
260 0.2 4 100 45
200 0.1 4 0 3759.7
200 0.1 4 10 2893.56
200 0.1 4 20 2037.91
200 0.1 4 30 1319.34
200 0.1 4 40 1005.13
200 0.1 4 50 773.12
200 0.1 4 60 562.77
200 0.1 4 70 384.27
200 0.1 4 80 267.1
200 0.1 4 90 171.38
200 0.1 4 100 157.51
220 0.1 4 0 3759.7
220 0.1 4 10 2600
220 0.1 4 20 1691.77
220 0.1 4 30 1126.16
220 0.1 4 40 902.03
220 0.1 4 50 628.67
220 0.1 4 60 371.19
220 0.1 4 70 240.16
220 0.1 4 80 139.84
220 0.1 4 90 116.87
220 0.1 4 100 83.8
240 0.1 4 0 3759.7
240 0.1 4 10 2350.51
240 0.1 4 20 1450
240 0.1 4 30 1000
240 0.1 4 40 708.77
240 0.1 4 50 375.68
240 0.1 4 60 271.72
240 0.1 4 70 175.88
240 0.1 4 80 123.3
240 0.1 4 90 90
240 0.1 4 100 66.69
260 0.1 4 0 3759.7
260 0.1 4 10 2080
260 0.1 4 20 1200
260 0.1 4 30 884.85
260 0.1 4 40 546.36
260 0.1 4 50 336.83
260 0.1 4 60 203.33
260 0.1 4 70 117.97
260 0.1 4 80 66.95
260 0.1 4 90 54.49
260 0.1 4 100 49.41
280 0.1 4 0 3759.7
280 0.1 4 10 1935.79
280 0.1 4 20 1007.44
280 0.1 4 30 758.08
280 0.1 4 40 500
280 0.1 4 50 315.13
280 0.1 4 60 190.44
280 0.1 4 70 100
280 0.1 4 80 50
280 0.1 4 90 40
280 0.1 4 100 30
260 0.1 4 0 3759.7
260 0.1 4 10 2080
260 0.1 4 20 1200
260 0.1 4 30 749.04
260 0.1 4 40 500
260 0.1 4 50 280
260 0.1 4 60 203.33
260 0.1 4 70 117.97
260 0.1 4 80 66.95
260 0.1 4 90 54.49
260 0.1 4 100 49.41
260 0.1 3.5 0 3759.7
260 0.1 3.5 10 2244.58
260 0.1 3.5 20 1484.05
260 0.1 3.5 30 749.04
260 0.1 3.5 40 547.23
260 0.1 3.5 50 331.18
260 0.1 3.5 60 267.75
260 0.1 3.5 70 198.36
260 0.1 3.5 80 130.51
260 0.1 3.5 90 100.47
260 0.1 3.5 100 93.91
260 0.1 3 0 3759.7
260 0.1 3 10 2483.29
260 0.1 3 20 1669.27
260 0.1 3 30 1162.42
260 0.1 3 40 827.86
260 0.1 3 50 517.85
260 0.1 3 60 357.71
260 0.1 3 70 274.21
260 0.1 3 80 185.53
260 0.1 3 90 129.69
260 0.1 3 100 88.35
260 0.1 2.5 0 3759.7
260 0.1 2.5 10 2527.4
260 0.1 2.5 20 1857.92
260 0.1 2.5 30 1219.77
260 0.1 2.5 40 850.2
260 0.1 2.5 50 628.67
260 0.1 2.5 60 515.01
260 0.1 2.5 70 359.75
260 0.1 2.5 80 265.34
260 0.1 2.5 90 172.36
260 0.1 2.5 100 149.93
260 0.1 2 0 3759.7
260 0.1 2 10 2722.63
260 0.1 2 20 2089.13
260 0.1 2 30 1485.29
260 0.1 2 40 1062.05
260 0.1 2 50 831.48
260 0.1 2 60 766.41
260 0.1 2 70 547.1
260 0.1 2 80 461.41
260 0.1 2 90 347.28
260 0.1 2 100 244.06
分析：一共有14组实验数据，另外注意到时间序列都一样[0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100]，这样可以简化代码。
Lu代码：
!!!using["luopt","math"]; //使用命名空间
f(t,C,dC,pp::k0,Ea,m,n,o,T,A,B)= dC=-k0*exp{-Ea/[8.314*(273.15+T)]}*(A^m)*(B^n)*(C^o), 0;
g(kk0,EEa,mm,nn,oo : i,j,s,tCC : tT,tA,tB,tTime,tC,max,tmax,k0,Ea,m,n,o,T,A,B)=
{k0=kk0, Ea=EEa, m=mm, n=nn, o=oo, //传递优化变量s=0, i=0,while{i<max,T=tT[i], A=tA[i], B=tB[i],tCC=gsl_ode[@f,nil,0.0,tTime,ra1(tC(0,i)), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],j=0, while{++j<tmax, s=s+[tCC(j,1)-tC(j,i)]^2},i++},s
};
main(::tT,tA,tB,tTime,tC,max,tmax)=
{max=14, //实验数据组数tT=ra1[260,260,260,260,200,220,240,260,280,260,260,260,260,260],tA=ra1[0.05,0.1,0.15,0.2,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1],tB=ra1[4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,3.5,3,2.5,2],tmax=11, //时间序列tTime=ra1[0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100],tC=matrix[tmax,max].SetArray{ //存放实验数据Ci
"3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7 3759.7
2772.45 2450 2300 2150 2893.56 2600 2350.51 2080 1935.79 2080 2244.58 2483.29 2527.4 2722.63
2100 1803.37 1424.68 1200 2037.91 1691.77 1450 1200 1007.44 1200 1484.05 1669.27 1857.92 2089.13
1679.03 1246.87 884.85 650 1319.34 1126.16 1000 884.85 758.08 749.04 749.04 1162.42 1219.77 1485.29
1356.12 895 546.36 380 1005.13 902.03 708.77 546.36 500 500 547.23 827.86 850.2 1062.05
1122.72 496.14 336.83 230 773.12 628.67 375.68 336.83 315.13 280 331.18 517.85 628.67 831.48
818.6 410.13 203.33 130 562.77 371.19 271.72 203.33 190.44 203.33 267.75 357.71 515.01 766.41
643.28 179.72 117.97 80 384.27 240.16 175.88 117.97 100 117.97 198.36 274.21 359.75 547.1
485.26 142.38 66.95 65 267.1 139.84 123.3 66.95 50 66.95 130.51 185.53 265.34 461.41
361.16 94.73 54.49 50 171.38 116.87 90 54.49 40 54.49 100.47 129.69 172.36 347.28
290.17 93.51 49.41 45 157.51 83.8 66.69 49.41 30 49.41 93.91 88.35 149.93 244.06"},Opt1[@g, optwaysimdeep, optwayconfra] //Opt1函数全局优化 //Opt[@g, optwaysimdeep, optwayconfra] //也可以使用此语句
};结果（k0,Ea,m,n,o,误差）：
0.5911010179120556 11993.11965328726 0.5943806176877708 0.5842721259729485 1.094210900092406 2087691.254199586
例子6 求解微分方程组的参数：
求解K1，K2，a, m
方程组为：
CB'=-K1*CB^a*(k1/k2*CB^a)^m
CH'=K2*(K1/K2*CB^a)^m
t CB CH
60 10.9237 0
90 10.7462 0
120 10.4357 0.03778
135 10.1695 0.0432
150 9.7481 0.1203
165 9.2346 0.21242
180 8.6613 0.34579
195 8.0058 0.56225
210 7.2423 0.83487
225 6.4188 1.12793
240 5.5353 1.38079
255 4.5768 1.869
270 4.0146 2.5
285 3.5703 3.01
300 3.1158 3.54452
330 2.4438 4.312
360 1.9878 4.70402
390 1.6668 4.8548
代码：
!!!using["luopt","math"]; //使用命名空间
f(t,CB,CH,dCB,dCH,pp::K1,K2,a,m)=
{
dCB=-K1*CB^a*(K1/K2*CB^a)^m,
dCH=K2*(K1/K2*CB^a)^m,
0
};
目标函数(_K1,_K2,_a,_m : i,s,tyz : tyArray,tA,max,K1,K2,a,m)=
{
K1=_K1, K2=_K2, a=_a, m=_m, //传递优化变量，函数f中要用到K1,K2,a,m
tyz=gsl_ode[@f,nil,0.0,tA,ra1(10.9237,0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tyz(i,1)-tyArray(i,1)]^2+[tyz(i,2)-tyArray(i,2)]^2},
s
};
main(::tyArray,tA,max)=
{
tyArray=matrix{ //存放实验数据
"60 10.9237 0
90 10.7462 0
120 10.4357 0.03778
135 10.1695 0.0432
150 9.7481 0.1203
165 9.2346 0.21242
180 8.6613 0.34579
195 8.0058 0.56225
210 7.2423 0.83487
225 6.4188 1.12793
240 5.5353 1.38079
255 4.5768 1.869
270 4.0146 2.5
285 3.5703 3.01
300 3.1158 3.54452
330 2.4438 4.312
360 1.9878 4.70402
390 1.6668 4.8548"
},
len[tyArray,0,&max], tA=tyArray(all:0), //用len函数取矩阵的行数，tA取矩阵的列
Opt1[@目标函数,optwaysimdeep, optwayconfra] //Opt1函数全局优化
//Opt[@目标函数, optwaysimdeep, optwayconfra] //也可以使用此语句
};
结果（K1,K2,a,m，目标函数值）：
2.007221403771439e-002 3.477931047132456e-002 0.7598653691173753 -1.205432420176749 18.90800296978626
绘图：
!!!using("win","math");
f(t,CB,CH,dCB,dCH,pp :: K1,K2,a,m)=
{
dCB=-K1*CB^a*(K1/K2*CB^a)^m,
dCH=K2*(K1/K2*CB^a)^m,
0
};
init(x,tx::K1,K2,a,m)=
x=matrix[
"
60 10.9237 0
90 10.7462 0
120 10.4357 0.03778
135 10.1695 0.0432
150 9.7481 0.1203
165 9.2346 0.21242
180 8.6613 0.34579
195 8.0058 0.56225
210 7.2423 0.83487
225 6.4188 1.12793
240 5.5353 1.38079
255 4.5768 1.869
270 4.0146 2.5
285 3.5703 3.01
300 3.1158 3.54452
330 2.4438 4.312
360 1.9878 4.70402
390 1.6668 4.8548
"
],
tx=x(all:0),
K1=2.007221403771439e-002, K2=3.477931047132456e-002, a=0.7598653691173753, m=-1.205432420176749,
luShareX2(x, gsl_ode[@f,nil,0.0,tx,ra1(10.9237,0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100]);
ChartWnd[@init]; //显示窗口并初始化
分析：本例所求解的应是最优解，但图形显示数据与曲线不一致，故怀疑数据与模型不匹配。
例子7 常微分方程组的参数拟合：
根据实验数据拟合出细胞对水的渗透参数lp和对保护剂的渗透系数ps。
微分方程组是这样的：
da/dtt=lp*r*temp*(0.289*（v0-vb)/a-0.289+b/a-4.809)*4.83579*c^0.6667
db/dt=ps*(4.809-b/a)*4.83579*c^0.6667
dc/dt=da/dt+vcpa*db/dt
其中，a,b,c是因变量，t是自变量，其他的r,temp,v0,vb,vcpa均为常量,如下：r=0.08206,temp=298,v0=0.9402*10^(-12),vb=0.2642*10^(-12),vcpa=63.75*10^(-6)
实验只能测出a和c值，b值无法测出。
实验数据：
t a c
0 0.719 1
21 0.2503 0.5314
29 0.1412 0.4222
38 0.1893 0.4703
46 0.2268 0.5078
54 0.2552 0.5362
71 0.2818 0.5628
87 0.3122 0.5932
104 0.3434 0.6244
120 0.3724 0.6534
137 0.3957 0.6767
153 0.4068 0.6878
170 0.428 0.709
195 0.4514 0.7324
228 0.4744 0.7554
261 0.4977 0.7787
294 0.5154 0.7964
335 0.5344 0.8154
377 0.5424 0.8234
426 0.5709 0.8519
476 0.587 0.868
526 0.6022 0.8832
分析：因b值无法测出，故追加b的初值_b为优化参数。下面代码中本来没有[tyz(i,0)-tac(i,0)]^2，但发现所求解存在异常，故添加此代码。
代码：
!!!using["luopt","math"]; //使用命名空间
初值(::r,temp,v0,vb,vcpa)= r=0.08206,temp=298,v0=0.9402*10^(-12),vb=0.2642*10^(-12),vcpa=63.75*10^(-6);
f(t,a,b,c,da,db,dc,pp :: r,temp,v0,vb,vcpa,lp,ps)=
{
da=lp*r*temp*(0.289*(v0-vb)/a-0.289+b/a-4.809)*4.83579*c^0.6667,
db=ps*(4.809-b/a)*4.83579*c^0.6667,
dc=da+vcpa*db,
0
};
目标函数(_lp,_ps,_b : i,s,tyz : tac,t,max,lp,ps)=
{
lp=_lp,ps=_ps, //传递优化变量，函数f中要用到lp,ps
tyz=gsl_ode[@f,nil,0.0,t,ra1(0.719,_b, 1), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, s=0, while{++i<max, s=s+[tyz(i,0)-tac(i,0)]^2+[tyz(i,1)-tac(i,1)]^2+[tyz(i,3)-tac(i,2)]^2},
s
};
main(::tac,t,max)=
{
tac=matrix{ //存放实验数据
"0 0.719 1
21 0.2503 0.5314
29 0.1412 0.4222
38 0.1893 0.4703
46 0.2268 0.5078
54 0.2552 0.5362
71 0.2818 0.5628
87 0.3122 0.5932
104 0.3434 0.6244
120 0.3724 0.6534
137 0.3957 0.6767
153 0.4068 0.6878
170 0.428 0.709
195 0.4514 0.7324
228 0.4744 0.7554
261 0.4977 0.7787
294 0.5154 0.7964
335 0.5344 0.8154
377 0.5424 0.8234
426 0.5709 0.8519
476 0.587 0.868
526 0.6022 0.8832"
},
len[tac,0,&max], t=tac(all:0), //用len函数取矩阵的行数，tA取矩阵的列
Opt1[@目标函数] //Opt1函数全局优化
//Opt[@目标函数] //也可以使用此语句
};
结果（lp,ps,_b,目标函数值）：
2.473962346617309e-003 -3.626422822558594e-003 1.308637154884405 0.1199412216587657
绘图：
!!!using("win","math");
初值(::r,temp,v0,vb,vcpa)= r=0.08206,temp=298,v0=0.9402*10^(-12),vb=0.2642*10^(-12),vcpa=63.75*10^(-6);
f(t,a,b,c,da,db,dc,pp :: r,temp,v0,vb,vcpa,lp,ps)=
{
da=lp*r*temp*(0.289*(v0-vb)/a-0.289+b/a-4.809)*4.83579*c^0.6667,
db=ps*(4.809-b/a)*4.83579*c^0.6667,
dc=da+vcpa*db,
0
};
init(x,y,tx,max::lp,ps)=
x=matrix[
"
0 0.719 1
21 0.2503 0.5314
29 0.1412 0.4222
38 0.1893 0.4703
46 0.2268 0.5078
54 0.2552 0.5362
71 0.2818 0.5628
87 0.3122 0.5932
104 0.3434 0.6244
120 0.3724 0.6534
137 0.3957 0.6767
153 0.4068 0.6878
170 0.428 0.709
195 0.4514 0.7324
228 0.4744 0.7554
261 0.4977 0.7787
294 0.5154 0.7964
335 0.5344 0.8154
377 0.5424 0.8234
426 0.5709 0.8519
476 0.587 0.868
526 0.6022 0.8832
"
],
cwAttach[typeSplit], cwResizePlots(2,2,2),
tx=x(all:0).reshape(), max=len[tx],
cwAddCurve{tx, x(all:1).reshape(), max, 0},
cwAddCurve{tx, x(all:2).reshape(), max, 1},
lp=2.473962346617309e-003,ps=-3.626422822558594e-003,
y=gsl_ode[@f,nil,0.0,tx,ra1(0.719,1.308637154884405, 1), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
cwAddCurve{tx, subg(y,all:1).reshape(), max, 0},
cwAddCurve{tx, subg(y,all:2).reshape(), max, 2},
cwAddCurve{tx, subg(y,all:3).reshape(), max, 1};
ChartWnd[@init]; //显示窗口并初始化
例子8 常微分方程组的参数拟合：
dz/dt=1/tv*(((lp*t)^av)*(z^(-av-1))-((lp*t)^(-2*av))*(z^(2*av-1)))
ds/dt=(ue*(ae-1)*(lp*t)^(ae-2)+ue*(2*ae+1)*(lp*t)^(-2*ae-2)+uv*(av-1)*(lp*t)^(av-2)*z^(-av)+uv*(2*av+1)*(lp*t)^(-2*av-2)*z^(2*av))*lp-(uv*av*(lp*t)^(av-1)*z^(-av-1)+2*uv*av*(lp*t)^(-2*av-
1)*z^(2*av-1))*dz/dt
ue,ae,uv,av,tv为待拟合参数
z为中间变量
lp=0.00354
t-s为实验数据：
t=282.5,361.0,439.4,517.9,596.4,674.8,753.3,831.8,910.2,988.7;
s=0,29099,36228,40626,44290,47686,50964,54181,57363,60521;
分析：因z值无法测出，故追加z的初值_z为优化参数。
代码：
!!!using["luopt","math"]; //使用命名空间
f(t,z,s,dz,ds,pp : lp : ue,ae,uv,av,tv)=
{
lp=0.00354,
dz=1/tv*(((lp*t)^av)*(z^(-av-1))-((lp*t)^(-2*av))*(z^(2*av-1))),
ds=(ue*(ae-1)*(lp*t)^(ae-2)+ue*(2*ae+1)*(lp*t)^(-2*ae-2)+uv*(av-1)*(lp*t)^(av-2)*z^(-av)+uv*(2*av+1)*(lp*t)^(-2*av-2)*z^(2*av))*lp-(uv*av*(lp*t)^(av-1)*z^(-av-1)+2*uv*av*(lp*t)^(-2*av-1)*z^(2*av-1))*dz,
0
};
目标函数(_ue,_ae,_uv,_av,_tv,_z : i,ss,ts : t,s,max,ue,ae,uv,av,tv)=
{
ue=_ue,ae=_ae,uv=_uv,av=_av,tv=_tv, //传递优化变量，函数f中要用到ue,ae,uv,av,tv
ts=gsl_ode[@f,nil,0.0,t,ra1(_z,0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100],
i=0, ss=0, while{++i<max, ss=ss+[ts(i,2)-s(i)]^2},
sqrt[ss/max]
};
main(::t,s,max)=
{
t=ra1[282.5,361.0,439.4,517.9,596.4,674.8,753.3,831.8,910.2,988.7],
s=ra1[0,29099,36228,40626,44290,47686,50964,54181,57363,60521],
max=len[t],
Opt1[@目标函数] //Opt1函数全局优化
//Opt[@目标函数] //也可以使用此语句
};
结果（ue,ae,uv,av,tv,_z,目标函数值）：
-9114964.001609007 -0.4453565389059405 7335590868.341645 -2.754919559106283e-004 -10485633.9903882 2.654977892066841 244.5944885704022
-249.2203422970038 -2.000969463745669 1822318656671169 -5.117661642056397e-013 -30625.54305602086 2.426847712155262e-010 151.3043733914658（此组解不能确定是否有效）
绘图：
!!!using("win","math");
f(t,z,s,dz,ds,pp : lp : ue,ae,uv,av,tv)=
{
lp=0.00354,
dz=1/tv*(((lp*t)^av)*(z^(-av-1))-((lp*t)^(-2*av))*(z^(2*av-1))),
ds=(ue*(ae-1)*(lp*t)^(ae-2)+ue*(2*ae+1)*(lp*t)^(-2*ae-2)+uv*(av-1)*(lp*t)^(av-2)*z^(-av)+uv*(2*av+1)*(lp*t)^(-2*av-2)*z^(2*av))*lp-(uv*av*(lp*t)^(av-1)*z^(-av-1)+2*uv*av*(lp*t)^(-2*av-1)*z^(2*av-1))*dz,
0
};
init(x,t,tx,max,y::ue,ae,uv,av,tv)=
x = matrix[
"
282.5,361.0,439.4,517.9,596.4,674.8,753.3,831.8,910.2,988.7
0,29099,36228,40626,44290,47686,50964,54181,57363,60521
"
],
t=ra1[282.5,361.0,439.4,517.9,596.4,674.8,753.3,831.8,910.2,988.7],
ue=-9114964.001609007, ae=-0.4453565389059405, uv=7335590868.341645, av=-2.754919559106283e-004, tv=-10485633.9903882,
luShareX2(x', gsl_ode[@f,nil,0.0,t,ra1(2.654977892066841,0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100]), outa[gsl_ode[@f,nil,0.0,t,ra1(2.654977892066841,0), 1e-6, 1e-6, 2, 1e-6,100]];
ChartWnd[@init]; //显示窗口并初始化
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积神经网络(CNN)的参数优化方法 from:http://blog.csdn.net/u010900574/article/details/51992156 著名: 本文是从 Michael Nie ...
- 5.6 matlab曲线拟合案例（股票预测问题、算法的参数优化问题）
1.股票预测问题 已知一只股票在2016年8月每个交易日的收盘价如下表所示,试预测其后面的大体走势. x = [2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 ...
- 模型参数优化（一）：遗传算法
参数是指算法中的未知数,有的需要人为指定,比如神经网络算法中的学习效率,有的是从数据中拟合而来,比如线性回归中的系数,如此等等.在使用选定算法进行建模时,设定或得到的参数很可能不是最优或接近最优的,这 ...
- 【机器学习】算法模型自动超参数优化方法
什么是超参数? 学习器模型中一般有两类参数,一类是可以从数据中学习估计得到,我们称为参数(Parameter).还有一类参数时无法从数据中估计,只能靠人的经验进行设计指定,我们称为超参数(Hyper ...
- 机器学习模型定点化_机器学习模型的超参数优化
引言 模型优化是机器学习算法实现中最困难的挑战之一.机器学习和深度学习理论的所有分支都致力于模型的优化. 机器学习中的超参数优化旨在寻找使得机器学习算法在验证数据集上表现性能最佳的超参数.超参数与一般 ...
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