【最短路】 Johnson 算法

Johnson 算法

这个算法可以用于处理稀疏图，带有负权的任意两点间的最短路问题

如果点数 $n\leq 10^{3}$ 边数 $m\leq 3*10^{3}$ ，那么堆优化的dij就可以解决了

但是dij中不能存在负的边权，所以我们要考虑一种转化边权的方法

可以通过类似差分约束的方法来重构边权

对一条边 u，v ，他们的权值为e ，dis[i]表示1-i的最短路

我们可以得到dis[v]-dis[u]+e $\geq$ 0

因此就可以把变成dis[v]-dis[u]+e

增设一个超级源点S，由S向各点连一条权值为0的边，然后使用spfa求出点S到所有点的最短路dis[i]

spfa的最坏的时间复杂度为O(nm)，这样我们就把问题转化为在一张非负图上求全源最短路径，就可以使用堆优化的dij了

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