1.随机过程的定义

X(w,t)X(w,t)X(w,t)两个特点：随机性与函数性
对于每一个固定的t，XtX_tXt为一随机变量，XtX_tXt所有的取值集合记为S,称为X(w,t)X(w,t)X(w,t)的状态空间
对于每一个固定的w，X(w0,t)X(w_0,t)X(w0,t)是一定义在TTT上的函数，称为样本函数
对于连续的一些定义
1. 以概率1连续，P(lims→t∣Xt−Xs∣=0)=1P(lim_{s\rightarrow t}|X_t-X_s|=0)=1P(lims→t∣Xt−Xs∣=0)=1
2. 依概率连续，∀t∈T,ε>0,有，P(lims→t∣Xt−Xs∣≥ε)=1\forall t\in T, \varepsilon>0,有，P(lim_{s\rightarrow t}|X_t-X_s|\geq \varepsilon)=1∀t∈T,ε>0,有，P(lims→t∣Xt−Xs∣≥ε)=1
3. 在LPL^PLP上连续，∀t∈T,P>0,有E∣Xt∣P<∞,lims→tE[∣Xs−Xt∣P]=0,P=2\forall t\in T, P>0,有E|X_t|^P<\infty,lim_{s\rightarrow t}E[|X_s-X_t|^P]=0,P=2∀t∈T,P>0,有E∣Xt∣P<∞,lims→tE[∣Xs−Xt∣P]=0,P=2称为均方连续

2.随机过程的分类及其例子

2.1根据参数集与状态空间的离散与否分类

离散参数，离散状态
例：伯努利过程二项过程
Xn={Xn,n=1,2,...},XnX_n=\{X_n,n=1,2,...\},X_nXn={Xn,n=1,2,...},Xn服从0-1分布，那么
Sn=∑k=1nXkS_n=\sum_{k=1}^nX_kSn=∑k=1nXk,则称S={Sn,n=1,2,...}S=\{S_n,n=1,2,...\}S={Sn,n=1,2,...}为二项过程
离散参数，连续过程
例：严高斯白噪声过程
Xn={Xn,n=1,2,...},Xn服从N(0,δ2)X_n=\{X_n,n=1,2,...\},X_n服从N(0,\delta^2)Xn={Xn,n=1,2,...},Xn服从N(0,δ2)
连续参数离散状态
例：计数过程
某地在t时刻以前生的孩子数；
某商店在t时刻以前到达的顾客数；
连续参数，连续状态
例：正态过程
设X={Xt,t∈T},X=\{X_t,t\in T\},X={Xt,t∈T},对任意n≥1n\ge 1n≥1以及t1,t2,...tnt_1,t_2,...t_nt1,t2,...tn有n维随机变量(Xt1,Xt2,...,Xtn)(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n})(Xt1,Xt2,...,Xtn)服从n维正态分布，
则称X是正态过程.
- n维正态分布的定义
  如果n维随机变量X=(X1,X1,...,Xn)X=(X_1,X_1,...,X_n)X=(X1,X1,...,Xn)有联合概率密度函数f(x)=1(2π)n/2∣B∣1/2e−12(x−μ)B−1(x−μ)Tf(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|B|^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)B^{-1}(x-\mu)^T}f(x)=(2π)n/2∣B∣1/21e−21(x−μ)B−1(x−μ)T其中μ=(μ1,μ2,...,μn),B\mu=(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n),Bμ=(μ1,μ2,...,μn),B是正定矩阵，则X=(X1,X1,...,Xn)X=(X_1,X_1,...,X_n)X=(X1,X1,...,Xn)为服从参数为μ.B\mu.Bμ.B的n维正态分布
- 性质
  设X=(X1,X1,...,Xn)X=(X_1,X_1,...,X_n)X=(X1,X1,...,Xn)服从参数为μ.B\mu.Bμ.B的n维正态分布，则
  - Y=∑k=1nlkXk(lk是常数)服从一维正态分布Y=\sum_{k=1}^{n}l_kX_k(l_k是常数)服从一维正态分布Y=∑k=1nlkXk(lk是常数)服从一维正态分布
  - X的m个分量服从m维正态分布
  - Y=XCY=XCY=XC服从m维正态分布N(μC,CTBC)N(\mu C,C^TBC)N(μC,CTBC)
- 举例
  - 例1
    A,B相互独立且都服从正态分布N(0,δ2)N(0,\delta^2)N(0,δ2),证明Xt=Acoswt+BsinwtX_t=Acoswt+BsinwtXt=Acoswt+Bsinwt是正态过程
    证明：利用性质[Xt1,Xt2,...,Xtn]=[A,B][coswt1coswt2⋯coswtnsinwt1sinwt2⋯sinwtn][X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_n}]=[A,B]\left[\begin{matrix}coswt_1&coswt_2&\cdots &coswt_n\\ sinwt_1&sinwt_2&\cdots &sinwt_n\end{matrix}\right][Xt1,Xt2,...,Xtn]=[A,B][coswt1sinwt1coswt2sinwt2⋯⋯coswtnsinwtn]依据性质3可得，XtX_tXt是正态过程
  - 例2
    
    证明：Xt=Rcosθcosat−RsinθsinatX_t=Rcos\theta cosat-Rsin\theta sinatXt=Rcosθcosat−Rsinθsinat,参照上一个例子，我们只需证明Rcosθ,RsinθRcos\theta,Rsin\thetaRcosθ,Rsinθ服从2维正态分布就可以了。

2.2根据样本轨道是否连续

连续轨道
标准布朗运动
- W0=0W_0=0W0=0
- W={Wt,t≥0}是平稳的独立增量过程W=\{W_t,t\ge 0\}是平稳的独立增量过程W={Wt,t≥0}是平稳的独立增量过程
- ∀0≤s≤t,Wt−Ws\forall 0\le s\le t,W_t-W_s∀0≤s≤t,Wt−Ws~N(0,t−s)N(0,t-s)N(0,t−s)
轨道不连续
泊松过程
- N0=0N_0=0N0=0
- 增量独立
- 增量服从泊松分布

2.3其他分类

正交增量过程
t1<t2<t3<t4,X={Xt,t∈T}t_1<t_2<t_3<t_4,X=\{X_t,t\in T\}t1<t2<t3<t4,X={Xt,t∈T}是实随机过程，若满足E[(t2−t1)(t4−t3)]=0,E[(t_2-t_1)(t_4-t_3)]=0,E[(t2−t1)(t4−t3)]=0,则称X为正交增量过程

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第二章随机过程的基本知识part I

随机过程的基本知识part I

1.随机过程的定义

2.随机过程的分类及其例子

2.1根据参数集与状态空间的离散与否分类

2.2根据样本轨道是否连续

2.3其他分类

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