sir模型初始值_sir模型初始值

有未患病人

, 已患病人

, 和不再患病的人

. 满足

, 总人数不变.

对于一个未患病人, 我们计算他单位时间内的患病概率

假设一个人平均单位时间内会遇到

个人, 那

令病人正好传给他的概率为

则

. 简介起见, 称

那么这个

是什么含义呢? 我们知道当

时,

. 也就是说, 当我遇到一个病人时, 单位时间被传染的概率为

那单位时间内减少的未患病人应该就是总数乘以概率, 即

对于一个已患病人来说, 单位时间内, 他有

概率死亡,

被治好. 在SIR模型中为简化计算, 令

, 为不再患病的概率. 则:

那么根据

, 我们获得:

我们获得了三个微分方程, 但因为我们有总人数守恒, 两个足矣. 为了让变量尽可能少, 我们保留第一, 第三个方程.

这个系统必定趋于稳定, 因为

只会减少,

只会增大, 而总人数不变. 唯一会变来变去的是

定义常数

. 它什么意思呢? 当你面对一个患病的人时, 在单位时间里, 他有

的几率突然不患病(包括死亡和治愈), 而你也有

的概率被他传染. 如果这个

比1大, 说明最可能的情况为: 你被患病了, 而他却还没有死亡/治愈. 所以这种情况下, 他往往可以传好多人, 所以人数暂时会增多. 但是如果这个

比1小, 那最有可能的情况为, 你在被传染前, 他就已经死亡/治愈了. 这种情况下, 病例会锐减.

从公式里看, 如果在初始状态下

, 于是

初始时间时的解为

.所以

的正负直接决定了它的情况.

如果不近似初始患病人数, 那我们就拿

代替

那么在初始情况下的

内,

于是

然后再过

, 等等等等......

那么我们想要控制, 减小

, 怎么办?

当然是减小

的值了, how?

. 减小

, 也就是单位时间接触的人:隔离; 减少

, 也就是被传染的概率: 口罩.

疫苗!

疫苗的作用在于, 患病人不会再患病了. 换言之对于传染方程:

, 它变了. 因为

不再正确了, 而是

类似地,

它带来的结果就是,

有用!

现在我们试着求解这个方程吧!

1,3 式相除:

, 其中

. 积分得

,这就是

之间的关系了.

当

最大时,

如果初始状态是几乎无人感染. 则

则

. 显然

越小

越小(因为

的增长率最低), 这也契合了我们上文的判断.

传染病什么时候恢复, 最后还剩多少人呢?

恢复, 也就是说

. 观察3式, 我们知道当

时, 患病人数减少. 但很可惜, 这是因为未患病者实在不够多了...

当然它和现实不匹配, 因为现实中随着人类智慧的发展,

会变大的.

那么还剩多少人呢?

1,2式相除得到:

, 积分得

因为最终,

. 所以

所以解

的方程就可以得到答案.

如果起始状态是几乎无人感染, 则

, 则只需解此方程, 就可得到答案.

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