凸包

定义

平面上 N 个点的凸包是包围这 N 个点的最小多边形

应用

机器人运动路径规划：找到起点 S 到终点 T 之间的最短路径，而且需要避开一个多边形路障

s 和 t 之间的最短路径就是 s 和 t 之间的直线距离，或者凸包中上下折线中的其中之一

最远的两点：平面上有 N 个点，希望找到这 N 个点中，距离最远的那一个点对

距离最远的那一对点，一定在凸包上

属性

在凸包上，可以只通过做逆时针转弯而遍历闭凸包
以最小的 y 值点 p 为原点，与其他点的连线的极角逐渐增大

凸包算法-Graham scan

算法思想

Graham scan 算法思想是基于凸包的两个属性：

求取 N 个点中，y 值最小的点 p
将剩余的 N - 1 个点，按照与点 p 的极角值进行排序
遍历排序后的 N - 1 个点，只保留那些进行逆时针旋转的点

逆时针旋转点

现在有三个点，a, b, c。如何确定 a -> b -> c 是逆时针旋转点？

只有当 c 在 a -> b 连线的左侧的时候，c 才是逆时针旋转点

当 c 是逆时针旋转点的时候，数学上有：

ab⃗×bc⃗=[abxbcy−abybcx]\vec {ab} \times \vec{bc} = \begin{bmatrix} ab_xbc_y-ab_ybc_x \end{bmatrix} ab×bc=[abxbcy−abybcx]
其中， ab_xbc_y - ab_ybc_x > 0

这个用右手法则也很好想，当 c 是逆时针旋转点的时候，从 ab 扫到 bc ，大拇指指向一定是正向；相反，则一定是反向；

代码实现

struct Point
{float x;float y;Point() {x = 0;y = 0;}Point(float xi, float yi) {x = xi;y = yi;}bool operator==(const Point& other) {if (std::abs(other.x - x) < 0.000001 && std::abs(other.y - y) < 0.0000001)return true;return false;}bool operator!=(const Point& other) {return !(*this == other);}friend std::ostream& operator <<(std::ostream& out, const Point& p) {out << p.x << ", " << p.y;return out;}
};//return the cos value of the polar angle
float calPolarAngle(const Point& base, const Point& another) {float xDistance = another.x - base.x;float yDistance = another.y - base.y;float distance = std::sqrtf(xDistance * xDistance + yDistance * yDistance);return xDistance / distance;
}struct  YLess
{bool operator()(const Point& lhs, const Point& rhs) {return lhs.y < rhs.y;}
};struct PolarAngleLess
{PolarAngleLess(const Point& p) : base(p) {}bool operator()(const Point& lhs, const Point& rhs) {return calPolarAngle(base, lhs) > calPolarAngle(base, rhs);}Point base;
};bool ccwTurn(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {Point ab(b.x - a.x, b.y - a.y);Point bc(c.x - b.x, c.y - b.y);return ab.x*bc.y - ab.y*bc.x > 0;
}std::vector<Point> convecHull(std::vector<Point>& points) {if (points.size() <= 3) return points;std::vector<Point> backPoints(points);auto yMinItr = std::min_element(backPoints.begin(), backPoints.end(), YLess());//put the yMinPoint to the frontstd::iter_swap(yMinItr, backPoints.begin());//sort the left n-1 points based polar anglestd::sort(backPoints.begin() + 1, backPoints.end(), PolarAngleLess(backPoints.front()));for (auto it = backPoints.begin(); it != backPoints.end() - 2; ++it) {while (!ccwTurn(*it, *(it + 1), *(it + 2))) {backPoints.erase(it + 1);it = it - 1;}}return backPoints;
}

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