【证明】对称矩阵的特征值为实数

性质 1　对称矩阵的特征值为实数。

证明　设复数矩阵 X=(xij)\boldsymbol{X} = (x_{ij})X=(xij)，x‾ij\overline{x}_{ij}xij 为 xijx_{ij}xij 的共轭复数，记 X‾=(x‾ij)\overline{\boldsymbol{X}} = (\overline{x}_{ij})X=(xij)，即 X‾\overline{\boldsymbol{X}}X 是由 X\boldsymbol{X}X 的对应元素的共轭复数构成的矩阵。

设复数 λ\lambdaλ 为对称矩阵 A\boldsymbol{A}A 的特征值，复向量 x\boldsymbol{x}x 为对应的特征向量，即 Ax=λx\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx，x≠0\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}x=0。

用 λ‾\overline{\lambda}λ 表示 λ\lambdaλ 的共轭复数，而 A\boldsymbol{A}A 为实矩阵，有 A=A‾\boldsymbol{A} = \overline{\boldsymbol{A}}A=A，故
Ax‾=A‾x‾=Ax‾=λx‾=λ‾x‾(1)\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A}} \overline{\boldsymbol{x}} = \overline{\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda \boldsymbol{x}} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}} \tag{1} Ax=Ax=Ax=λx=λx(1)
于是有
x‾TAx=x‾T(Ax)=x‾Tλx=λx‾Tx(2)\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T (\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}) = \overline{\boldsymbol{x}}^T \lambda \boldsymbol{x} = \lambda \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{2} xTAx=xT(Ax)=xTλx=λxTx(2)
及根据 (1)(1)(1) 式有
x‾TAx=x‾TATx=(Ax‾)Tx=(λ‾x‾)Tx=λ‾x‾Tx(3)\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{A}^T \boldsymbol{x} = (\boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = (\overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}})^T \boldsymbol{x} = \overline{\lambda} \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} \tag{3} xTAx=xTATx=(Ax)Tx=(λx)Tx=λxTx(3)
将 (2)(2)(2) 式减 (3)(3)(3) 式，得
(λ−λ‾)x‾Tx=0(\lambda - \overline{\lambda}) \overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = 0 (λ−λ)xTx=0
因为 x≠0\boldsymbol{x} \ne 0x=0，所以
x‾Tx=∑i=1nx‾ixi=∑i=1n∣xi∣2≠0\overline{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^n \overline{x}_i x_i = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \ne 0 xTx=i=1∑nxixi=i=1∑n∣xi∣2=0
故 λ−λ‾=0\lambda - \overline{\lambda} = 0λ−λ=0，即 λ=λ‾\lambda = \overline{\lambda}λ=λ，这就说明 λ\lambdaλ 是实数。得证。

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