【证明】矩阵特征值之和等于主对角线元素之和

性质 1　设 nnn 阶矩阵 A=(aij)\boldsymbol{A} = (a_{ij})A=(aij) 的特征值为 λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn，则 λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann。

证明　不妨设矩阵 A\boldsymbol{A}A 的特征多项式为
f(λ)=∣A−λE∣=∣a11−λa12⋯a1na21a22−λ⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann−λ∣=k0+k1λ+⋯knλn(1)f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1} f(λ)=∣A−λE∣=∣∣a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann−λ∣∣=k0+k1λ+⋯knλn(1)
因为矩阵 A\boldsymbol{A}A 的特征值 λ1,λ2,⋯,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 是特征方程 f(λ)=0f(\lambda) = 0f(λ)=0 的 nnn 个解，所以上式 (1)(1)(1) 可以写成
f(λ)=(λ1−λ)(λ2−λ)⋯(λn−λ)(2)f(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \tag{2} f(λ)=(λ1−λ)(λ2−λ)⋯(λn−λ)(2)
根据韦达定理可知，上式 (2)(2)(2) 中 λn−1\lambda^{n-1}λn−1 的系数 kn−1=λ1+λ2+⋯+λnk_{n-1} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_nkn−1=λ1+λ2+⋯+λn。

因为在行列式 ∣A−λE∣|\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}|∣A−λE∣ 中，除主对角线对应的项以外，其他项展开后关于 λ\lambdaλ 的最高项均小于等于 n−2n-2n−2 次；所以，若要得到 λn−1\lambda^{n-1}λn−1 项，只能通过主对角线对应的项得到。主对角线对应的项为
(a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ)(3)(a_{11} - \lambda) (a_{22} - \lambda) \cdots (a_{nn} - \lambda) \tag{3} (a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ)(3)
因为上式 (3)(3)(3) 中 λn−1\lambda^{n-1}λn−1 的系数即式 (1)(1)(1) 中 λn−1\lambda^{n-1}λn−1 的系数 kn−1k_{n-1}kn−1，根据韦达定理，有 kn−1=a11+a22+⋯+annk_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}kn−1=a11+a22+⋯+ann。

综上所述，有
λ1+λ2+⋯+λn=kn−1=a11+a22+⋯+ann\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = k_{n-1} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} λ1+λ2+⋯+λn=kn−1=a11+a22+⋯+ann
得证。

【证明】矩阵特征值之和等于主对角线元素之和相关推荐

如何用二维数组输出一个矩形，并求矩形的外围元素之和，主对角线元素之和，副对角线元素之和
给定二维数组a[4][4] 4行4列#include<stdio.h>const int i=4;const int y =4;int main() {int b;int c;int r ...
特征值与特征向量的重要性质：特征值之和等于对角线元素之和，特征值之积等于行列式的值
c编程：求出4#215;4矩阵中最大和最小元素值及其所在行下标和列下标，求出两条主对角线元素之和。...
//求出4×4矩阵中最大和最小元素值及其所在行下标和列下标,求出两条主对角线元素之和 #include <stdio.h> int main() {int sum=0;int max,mi ...
python计算矩阵对角线之和_Python练习实例38 | 求3*3矩阵主对角线元素之和
刚拿到这道题,可能还有不少的小伙伴们不知道3*3主对角元素是哪几个. 其实很简答,就是3*3矩阵当中的第1个.第5个以及第9个的元素之和. 矩阵.jpg 接下来,show code! # 求3*3矩阵 ...
c语言程序设计对角矩阵,从键盘输入一个4*4矩阵,并求这个4*4矩阵主对角线元素之和,并输出.球C语言程式设计...
从键盘输入一个4*4矩阵,并求这个4*4矩阵主对角线元素之和,并输出.球C语言程式设计以下文字资料是由(历史新知网www.lishixinzhi.com)小编为大家搜集整理后发布的内容,让我们赶快一起 ...
求整型矩阵主对角线元素之和
求一个3*3的整型矩阵主对角线元素之和 1,2,3 4,5,6 7,8,9 #include<stdio.h> int main() { int a[3][3]={1,2,3,4,5,6, ...
关于求矩阵主对角线元素之和及副对角线元素之和的问题
今天我在acm系统刷题时,遇到了一道这样的题目: 题目描述:求一个3×3矩阵对角线元素之和.输入矩阵,输出主对角线副对角线元素和样例输入 1 2 3 1 1 1 3 2 1 样例输出 3 7 拿 ...
求一个3*3矩阵主对角线元素之和
'''求一个3*3矩阵主对角线元素之和.'''a = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] c = 0 for b in range(0, 3):c += a[b][b] ...
#python#编程求主对角线元素之和
求一个 n*n的整型矩阵 nums 的主对角线元素之和.请通过 print 语句输出矩阵 nums 的主对角线元素之和.所需数据由标准输入流(控制台)中读入. 其中: 0<n<11 0&l ...

【证明】矩阵特征值之和等于主对角线元素之和

【证明】矩阵特征值之和等于主对角线元素之和相关推荐

最新文章

热门文章