【概率笔记】条件概率这样学才快啦

精彩往期回顾：

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【概率笔记】这些概率公理性质你需要会的呀

条件概率（Conditional Probability）

这里用一个例子来告诉大家：

比如，一个上学期间整天鬼混的学沫，根本就不好好学习，对于他而言，选择题的四个选项ABCD被他选取的概率就为1/4。而对于大学霸来说，题题都会，那么他选取每一个选项的概率就为1或0。

但是有一天，这个学沫和学霸考试竟然挨着，当学沫想看学霸选择题的时候，被学霸一手遮住：

那么在这样的事情发生之后，学沫肯定就知道不是选B就是选D了，AC根本不可能。那么此时的P(B)=P(D)=1/2。上述情况发生后一个事件的概率被称为条件概率。

数学上的条件概率表示

P(X|Y)

其中

X：自己关心的事（要求的概率）

Y：观察到的，已发生的事件（已知条件）

条件概率怎么算？

若某事件Y包含数个实验结果：

Y={O1, O2,...,On}

那么P(Oi|Y)的条件概率表示为（忽略小鼠标）

如果考虑到某事件X={O1,O2,Q1,Q2},已知条件事件Y={O1,O2,O3}发生了，则：

所以最终可以包含所有情况的公式定义

若已知某事件Y发生了，则对于任何事件X，我们可以计算其条件概率为：

注：英文中表示已知条件的词大致为condition on，Suppose，if，Assuming，given that。

条件概率定理

定理一

注：很明显由概率公理一得任何概率都大于等于0，所以这里P(X|Y)大于等于0（当然分母等于0咋办？所以为了数学严谨，直接定该条件概率大于等于0）

定理二

注：自己在自己发生的情况下的概率为1

定理三

注：若AB互斥，那么它们集合的条件概率等于分别各自的条件概率

定理四

全概率（Total Probability）定理

若C1，C2，...，Cn互斥，且它们的并为全集合S，则对于任意事件A有：

注：其中根据上面提到的公式

得出该式中

那么根据上章讲的切面包定理

公式证明为：

举个应用栗子：

比如还是上章讲的阿宅和可爱店员，店员对阿宅是否笑，是收到店的生意的影响的。

其中：满表示生意火爆；普表示平淡；惨表示店里冷清惨淡。

之前考虑的是这个可爱店员对阿宅笑的概率。那么这次考虑可爱店员笑的概率

那么此时的概率用集合表示为

根据上述公式得

定理五

贝叶斯（Bayes）定理

若C1，C2，...，Cn互斥且它们的并为总集合S，则对任意事件A，有

注：贝叶斯定理用的还是很多的，比如在机器学习以及自然语言处理应用中。由公式可以看出一个细节，前面的条件和关心的事件在后面的公式总反过来了，所以这个贝叶斯定理经常被用在交换条件和关心事件的公式。

证明也不难，左边的公式等于

举个栗子

还是阿宅和可爱店员的例子。这次我们站在店长的角度考虑，店长在乎的是店的生意，有一天，店长恰好看到了这个可爱店员笑了，那么此时店里是满（红红火火）的概率。

计算公式为：

所以，当店长看到店员笑的时候，店里满的概率仅仅为九分之一，看来店长看到店员笑的时候会很生气啊。哈哈

好了今天就到这里，每天进步一丢丢！用5秒钟看完下面雅思单词吧O.O

Reference

概率视频叶丙成台湾大学

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