Lesson 3 Part 1 Locally weighted regression

局部加权紧接着上面的线性回归中参数求解来继续讲吧。还是以上面的房屋价格的预测，它的中心思想是在对参数进行求解的过程中，每个样本对当前参数值的影响是有不一样的权重的。比如上节中我们的回归方程为（这个地方用矩阵的方法来表示Ɵ表示参数，i表示第i个样本，h为在Ɵ参数下的预测值）：

我们的目标是让

最小，然后求出来Ɵ，再代入h中就可以得到回归方程了。

但是如果类似以下的样本，他们的对应图如下：

如果用之前的方法，图中线为求出的回归方程，那么在x的取值和真实差别很大，这个情况叫做欠拟合。那么我们怎么办呢？我们的主要思想就是只对x的附近的一些样本进行选择，根据这些样本得到x附近这些样本所推倒出来的回归方程，那么此时我们得到的回归方程就比较拟合样本数据，得到的效果图如下：

我们解的思路如下，加入一个加权因子：

重新构造新的j(x)

Exp是以e为底的指数，这个时候可以知道如果x距离样本很远的时候w(i)=0，否则为1，当我们预测一个值的时候就需要我们重新来计算当前的参数Ɵ的值，然后构造回归方程，计算当前的预测值。

这就是局部加权回归LWR！

τ控制了权值随距离下降的速率

看下我们的matlab程序吧

clc; clear; close all;load datax.dat;
load datay.dat;X = [ones(size(datax, 1),1) datax];
Y = datay;m = size(X,1);
n = size(X,2)-1;%part a
figure(1); hold on;
theta = inv(X'*X)*X'*Y;
scatter (X(:,2), Y);
Xp = -6:0.01:13;
Yp = theta(1) + theta(2)*Xp;
plot (Xp, Yp);%part b
figure(2); hold on;
W = zeros(m);
t = 0.8;
LWRXp = -6:0.01:13;
LWRYp = [];
for temp = 1:size(LWRXp,2),for i=1:m,W(i,i) = 0.5 * exp(-((LWRXp(temp)-X(i,2))^2)/(2*t*t));end;theta = inv(X'*W*X)*X'*W*Y;LWRYp(temp) = theta(1)+theta(2)*LWRXp(temp);
end;
scatter (X(:,2), Y);
plot (LWRXp, LWRYp);%part c
figure(3); hold on;
scatter (X(:,2), Y);
W = zeros(m);
t_array = [0.1, 0.3, 2,10];
LWRXp = -6:0.01:13;
LWRYp = [];
for t=1:4,for temp = 1:size(LWRXp,2),for i=1:m,W(i,i) = 0.5 * exp(-((LWRXp(temp)-X(i,2))^2)/(2*t_array(t)*t_array(t)));end;theta = inv(X'*W*X)*X'*W*Y;LWRYp(t,temp) = theta(1)+theta(2)*LWRXp(temp);end;
end;
plot (LWRXp, LWRYp);

part a的结果就是最小二乘的线性拟合

part b 中 t = 0.8

part c用了几种不同的t

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