一把数学上完美的尺子（哥隆尺）

作者：蒋迅

本文发表在《中国工业与应用数学学会通讯》2019年第2期。

我的一位发小和我一样有保存老物件的习惯，他知道我的这个爱好，专门托人从北京带来了一把老式的尺子，非常漂亮。这把尺子就在我的起居室的茶几上。每次看到它就觉得应该写点什么。今天我们就来说说尺子里的数学。具体地说，我们要讲的是一种叫哥隆尺的数学概念，同时看看它有什么实际的应用。

1. 什么是哥隆尺

先说哥隆尺。哥隆尺真的是一把尺子。通常的尺子的标点之间的距离是均匀的。一把12英寸的尺子上有13个标点。这样的尺子可以度量介于1和12英寸之间的所有整数长度。

图1.一把普通的刻度尺

但是这样的尺子从数学上不是最有效的，因为对於单位长度1来说，我们有多种度量方法。事实上对上面的例子来说，有12种重复的方法。对於长度2、3、4等都有多种重复的度量方法。

图2.普通刻度尺有多种度量方法

那么有没有更为有效的尺子？具体地说，有没有一种尺子，它对每一个（整数）长度来说，都只有一个方法呢？由此引出了哥隆尺问题。

先来看哥隆尺的定义。一个整数集合

A = {a1, a2, ..., am}, a1 < a2 < ... < am

是一个哥隆尺，当且仅当

对一切 i, j, k, l ∈ {1, 2, ..., m}, ai − aj = ak − al ⇔ i = k 且 j = l.

一个哥隆尺上的点数 m 称为它的阶。它上面的最长距离 am − a1 就是它的长度。哥隆尺的正则形式是 a1 = 0，并且当 m > 2 时，有 a2 − a1 < am − am-1。这种形式可以通过平移和反射变换得到。

哥隆尺也可以看作是一个内射函数。一个满足 f(1) = 0和f(m) = n 的内射函数

f: {1, 2, ..., m} → {0, 1, ..., n}

是一个哥隆尺，当且仅当

对一切i, j, k, l ∈ {1, 2, ..., m}, f(i) − f(j) = f(k) − f(l) ⇔ i = k 且 j = l.

下面是一个哥隆尺的例子。这个尺子可以度量1到6个单位，并且每一个单位都只能用一种方法来度量。按定义，它是一个阶为4，长度为6的哥隆尺。

图3. 一把哥隆尺

这个哥隆尺用数列表示就是 {0,1,4,6}。这四个数字就是刻度点的位置。我们也可以换两种表示。一种是7位0和1的数列：{1, 1, 0, 0, 1, 0, 1}，也就是在有刻度点的地方用1，其他地方用0的数列。我们在后面将用这种二进制表示来描述哥隆尺的应用。还有一种表示是图表示：图的顶点是那些刻度点，任何两点之间用它们之间的距离表示。这两种表示法都在下图中。

图4. 哥隆尺的二进制表示和图表示

再来看一个4阶的哥隆尺。这个尺子的长度是11。

图5. 一把四阶哥隆尺

2. 美国数学家所罗门·格伦布

图6. 所罗门·格伦布（Solomon Wolf Golomb）

哥隆尺是以美国数学家所罗门·格伦布命名的。按说它应该被译为格伦布尺。估计哥隆尺这个名字早于他本人的名字被引入中国。其实哥隆尺不是格伦布最早提出的。这个思想是由希顿（S. Siden）于1939年提出，并由巴布科克（W. C. Babcock）在1953年重新提出。格伦布用21个月从约翰霍普金斯大学获得了学士学位。当时他还没有到19岁。在1957年以论文“问题的素数的分布”获得了哈佛大学的硕士学位和博士学位。毕业后他到火箭喷气实验室工作。1963年加入南加州大学直到退休。他主要的研究范畴有通讯理论、编码理论、组合数学、数学游戏及数论等。他的涉猎之广实为惊人，他在涉猎的项目中模糊了“纯粹”和“应用”数学之间的区别。他命名了“多格骨牌”游戏，但他不局限自己于游戏中，而是利用这些离散的物件来帮助自己铺平了我们今天的数码世界。他开发的移位寄存器序列被广泛的运用于军事、工业和消费应用的识别。今天，数以百万计无线和移动电话的使用与移位寄存器序列来实现伪随机码直接序列扩频。他开发的格伦布编码是一种无失真资料压缩方法，在格伦布编码生成方法下，是以一个科斯塔斯阵列为中心的主要生成技术。科斯塔斯阵列可以看作是哥隆尺在二维的推广。格伦布正是在研究斯塔斯阵列的时候引起了人们对哥隆尺的注意。我们将在另一篇文章里介绍科斯塔斯阵列。与此相关的就是哥隆尺，它在射电天文学和加密学中得到应用，并由於格伦布的贡献而得名。

3. 完美哥隆尺

哥隆尺没有要求能度量在它长度之内的所有单位。但如果它能做到这一点的话，那么就称为完美哥隆尺。上面的4阶哥隆尺就是一个完美哥隆尺，因为它可以度量1到6之间的所有整数。这个概念很吸引人，但令人失望的是，当 n > 4 时，不存在n阶完美哥隆尺。下面是全部的完美哥隆尺：

表1. 完美哥隆尺

我们后面将看到完美哥隆尺的一个应用。对完美尺的研究在其他条件下也有研究，当然不再满足哥隆尺的其他条件。比如有人提出“几乎完美尺”的概念。我们不详细介绍。

4. 最优哥隆尺

一个哥隆尺称为是最优的，如果不存在一个阶数相同的更短的哥隆尺。在上面的两个4阶哥隆尺的例子中，第一个是最优的，它的长度是6。可以证明4阶中不可能再有比6更短的了；第二个的长度也是6，但它不是最优的，因为它的长度是11。我们用 G(m) 记 m 阶哥隆尺的最佳值。那么，G(4) = 6。我们下面将看到更多的 G(m) 值。

给定一个阶数 m，构造一个m阶哥隆尺不是一个特别难的事情。匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Paul Erdos）和图兰·帕尔（Pal Turan）在1941年给出了一个构造哥隆尺的方法：给定一个奇素数p，下面的点就生成一个哥隆尺：

2pk + (k2 mod p), k ∈ [0, p − 1].

但是构造一个最优的哥隆尺则是一项困难的计算题目。目前还没有一种算法，也没人知道它的计算复杂度。寻找最优哥隆尺就是用最笨的办法：逐个筛选。反正对於任意的m，m阶哥隆尺的个数是有限的。那么就一个一个试好了。当然这个数字太大了。我们必须用平行计算机。1997年， distributed.net 把世界上自愿参加的计算机联起来，在空闲的时候提供给它做这项工作。这项工作类似于寻找梅森素数的GIMPS项目。利用distributed.net，人们现在已经找到了最优27阶哥隆尺。distributed.net在2014年2月已经开始寻找28阶哥隆尺。下面是至今已经得到的结果：

表2. 全部27阶以内的哥隆尺

从这个表，我们首先看到，在已知的27个哥隆尺中，只有前4个是完美的哥隆尺（有效率100%）。注意上面的表中的年份是哥隆尺被证明是最优的年份，而不是那个哥隆尺被发现的年份。我们看到当 m = 5, 6, 7 和 11 时，有多于一个最优解。所以最优哥隆尺可能不是唯一的。显然，寻找最优哥隆尺很困难。事实上，当 m ≥ 20 的时候，人们唯一做的都是利用互联网上联机计算计算。对 m = 24，这个计算一共使用了555,551,924,848,254,200个终端，计算了1572天。5年后，计算机的能力都提高了很多，但 G(26) 的计算还是调动了3,185,174,774,663,455个终端，计算了24天。G(27) 用了1822天。到写本文的时候， G(28) 的计算还在进行中，已经进行了1690天，完成了大约51.9%的任务。如果你有一台连在互联网上的计算机并愿意加入计算，可以参与这个项目。

下面我们简单地介绍一下 G(m) 的计算。我们具体地以 m = 6 时四个最优哥隆尺中的第一个为例：

图7.一把6阶（非完美）哥隆尺

这个6阶哥隆尺的长度为17。它不是完美的，因为它无法度量14和15。我们是通过上面的图观测得到这个结论的。我们也可以用一个计算表格来验证这个结论。这种方法实际上更重要，因为它易于在计算机上实现，而且在组合数学和几何学中都有应用。见下图。我们考虑由 {0, 1, 4, 10, 12, 17} 构成的6阶哥隆尺。将刻度点按顺序排列。为叙述方便，将它们记为 {a1, a2, a3, a4, a5, a6}。用相邻两点的差 ai − ai-1, i = 2, 3, 4, 5, 6 得到第2行的1, 3, 7, 2, 5；然后用隔一个点的两个点ai − ai-2, i = 3, 4, 5, 6 得到第3行的4, 9, 8, 7；继续进行下去，用隔两个点的两个点ai − ai-3, i = 4, 5, 6 得到第4行的10, 11, 13；再用隔三个点的两个点ai − ai-4, i = 5, 6 得到第5行的12, 16；最后用a6 − a1得到第6行的17。

我们再次看到，这个倒三角形中缺少14和15。注意最后一行的17正好是这个哥隆尺的长度。所以寻求最优哥隆尺就是让这个数字达到最小。我们把上面的差分用 Y[j], j = 1, …, 16 来表示。上面的倒三角就是

所以，我们的目标就是让 Y[15] 达到最小。一般地，如果阶数是m 的话，那么我们要做的就是让 Y[m(m-1)/2] 达到最小。现在我们来看这些变量的关系。为了表达方便，让我们记 Yj = Y[j]。显然有

用这些条件可以编辑一个算法来计算Y15的最优解。

下面的图显示了那些可以被哥隆尺度量的单位。其中密密麻麻的线条是可以被度量的部分，白色是不可度量的部分。百分比是可度量的有效度，即可度量的单位数与哥隆尺长度的比。按定义，当阶数小於等於4时，有效率是100%。基本上我们可以说，阶数越高，有效率越低，而且越大的单位越有可能不能被度量。

表3. 全部27阶以内的哥隆尺

5. 戈莱和他的波长隔离序列对

哥隆尺听起来似乎只是以个数学游戏，其实它有广泛的应用。诸如：在X射线晶体学中出现的衍射图案，信道编码技术中的卷积码，雷达和声纳技术，模式匹配和信息检索，用于同步光电探测器的代码，雷达脉冲编码，导弹制导代码，无线电频率指配，射电天文学，等等。详谈这些应用都需要较深入的专业知识。所以对每一个例子的介绍都会占用很大的篇幅。我们在这一节里试图用一个“波长隔离序列对”的例子给读者一些感受。

图8.马塞尔·戈莱（Marcel J. E. Golay）

在1950年代，美国数学家、物理学家和信息理论学家马塞尔·戈莱在研制光谱仪的时候，将具有特殊性质的0和1组成的序列用于多分光谱仪的设计上。我们来看一看这里的原理，以及我们如何利用哥隆尺来帮助他。

光谱仪是一种从电磁辐射源产生光谱的装置。这种装置可用于分析从未知白炽材料发出的光，以便建立其化学组成。当入射辐射包括多于一个波长时，人们通常希望将特定感兴趣的波长与背景辐射区分开。1951年，戈莱讨论了一种光谱仪设计，它通过处理两个“流”中的入射辐射来隔离感兴趣的辐射与背景辐射，每个“流”包括入口掩模，出口掩模和探测器。入口和出口掩模是不透明的表面，具有窄的，等间隔的矩形狭缝的图案，辐射通过该狭缝到达相同的探测器。它的工作原理是，如果背景波长的辐射总是以相等的量通过两个流，而所需波长的辐射通过两个流是不等量的，那么由两个探测器测量的总能量之差完全可归因于所需波长的辐射。戈莱的多缝光谱仪设计利用衍射来调节辐射通过两个流的通道。衍射导致辐射在通过狭窄的开口时弯曲。在每个入口掩模的（否则是不透明的）表面上刻有“开口”和“闭合”狭缝的图案; 入射辐射被闭合的狭缝阻挡，但穿过开口的狭缝并被衍射。由於衍射角随波长变化，这将入射辐射分离成光谱，这样每个波长通过光谱仪时可以对它们进行不同的处理。特别地，出口掩模类似地刻有开口和闭合狭缝的图案，其阻挡一些辐射并将其余辐射传递到检测器。由每个流传递的给定波长的辐射量由入口和出口狭缝图案确定。狭缝图案的选择必须可靠地隔离所需波长。

我们不妨假设期望的辐射不经历衍射，因此每当出口图案中的开口狭缝与入口图案中的开口狭缝对齐时将到达检测器。然后，如果波长 λu 的背景辐射被衍射使得它到达出口掩模u 向右或向左的位置（狭缝），那么只要出口掩模中有开口狭缝，波长 λu 的辐射就会到达探测器。 u 分别位於入口掩模中的开口狭缝的右侧或左侧。可以通过简单地将两个出口掩模相对於入口掩模平移相应的量来处理所需辐射确实经历衍射的（更现实的）情况。

戈莱将入口和出口切口图案表示为二进制 {0; 1} 序列，其中0表示闭合狭缝，1表示开放狭缝。图2显示出了背景波长 λ1 的辐射，其被一个位置向右衍射，穿过光谱仪的一个流的入口和出射掩模，以及与入口和出口狭缝图案相关联的二进制序列。所示的流允许波长 λ1 的一次辐射通过检测器。

图9. 多分光谱仪的一个流的示例

戈莱提出，通过入口狭缝图案A和B以及具有以下特性的出口狭缝图案A'和B'，可以实现所需波长的有效隔离：

　　（a） A' 是 A 的精确副本，B' 是 B 的补码。
　　（b） A 中的开口狭缝的数量在开口狭缝处的距离 u > 0（从左到右读取）之后等於 B 中的开口狭缝的数量，其在距离 u 处由闭合的狭缝跟随，并且也等於通过开口狭缝在距离 u 处跟随 B 中的闭合狭缝的数量。

条件（a）保证通过入口狭缝图案 A 通过的所有所需辐射到达检测器，而入口狭缝图案 B 通过的所需辐射都不这样做。条件（b）保证背景波长的辐射总是由两个流相同地传递，无论它是向右（因此是开 - 闭条件）还是向左（因此是闭 - 开条件）衍射。

由於两个出口狭缝图案由两个入口狭缝图案确定，因此上述光学系统由有序对二进制 {0, 1} 序列 A 和 B，分别代表入口狭缝图案 A 和 B。图9中所示的系统对应于序列对 A = (11010), B = (10001)。图10（a）显示了所需波长通过两个流的差分通道，而图10（b）显示了背景波长 λ1 通过两个流的相同通道。

图10（a）通过多分光谱仪的两个流传输所需的辐射

图10（b）一个波长的背景辐射通过多分光谱仪的两个流

1951年，戈莱找到了满足条件（a）和（b）的序列的例子，长度为 3，5和 8。这些例子都在下表中。由於无法找到进一步的（非平凡的）例子，他表示“必须考虑到这种可能性，不存在超过8个狭缝的此类模式的解决方案。”他将注意力转移到解决问题的替代方案上 ─ 一个使用两行狭缝而不是一行的图案，使用现在称为戈莱互补序列对的可以无限长度构建图案。在接下来的六十年里，对於适合单排入口狭缝图案的序列的搜索显然已被遗忘。

表4. 戈莱互补序列对

6. 波长隔离序列对的新发现

戈莱的猜测也对也不对。不对的原因是后来人们又找到了两对新的波长隔离序列对，事实上，用我们在本文介绍的哥隆尺就可以帮我们找到；对的理由是，再找到新的波长隔离序列对已经很困难。这个结果是简·沃德林格（Jane Wodlinger）在2009年得到的。

让我们先引入一些记号。令 A = (a0, ..., an-1) 是一个长度为 n 的二进制数列，令 x, y ∈ {0,1}，对任意一个正整数 u, 0 ≤ u ≤ n，定义集合

SA(x, y, u) = |{(j, j + u): (aj, aj+u = (x, y) 且 0≤ j ≤ n − u}|

为 A 中的那些包含了某个位置上的值是 x 而且在这个位置后的距离 u 处正好是 y 值的点的数目。例如，如果 A = (10100100)，那么 SA(1,1,3) = 1, SB(1,0,4) = 2。这是因为当 x = 1, y = 1, u = 3 时，只有 a2 = 1, a5 = 1 满足条件；当 x = 1, y = 0, u = 4 时，有 a0 = 1, a4 = 0 和 a2 = 1, a5 = 0 满足条件。记 w(A) 为 A 中1的个数。下面我们可以给出波长隔离序列对的一个精确的数学定义：

令 A = (a0, ..., an-1), B = (b0, ..., bn-1) 为两个长度为 n 的二进制序列。我们说 (A,B) 是一个波长隔离序列对，如果它们满足以下两个条件：

　　（1） w(A) ≥ 1,
　　（2） SA(1,1,u) = SB(1,0,u) = SB(0,1,u)，所有的 1 ≤ u ≤ n。

可以验证，一个满足这个定义的波长隔离序列对可以用于戈莱的多分光谱仪的入口狭缝图案并确保一定波长的辐射能够通过。不失一般性，我们可以取 a0 = 1。否则我们只要做左平移就可以了。而且，如果 (A,B) 是一个波长隔离序列对，那么 (A,B') 也是一个波长隔离序列对，因为我们有 SB(1,0,u) = SB(0,1,u)。因此，我们可以假定 w(B) ≤ n/2。另外，对任何长度 n，总有一个波长隔离序列对，即 A = (1 0 ... 0), B = (0, ..., 0)，但这个平凡的波长隔离序列对没有什么实际意义。下面我只考虑非平凡的波长隔离序列对，即 w(A) > 1。

下面的表内的前三个是戈莱找到的，后面两个是在2009年找到的。

表5. 波长隔离序列对

这后两个波长隔离序列对是基於下来的结果：

令 R 为一个长度为 n 的 m 阶完美哥隆尺。对每一个整数 j 满足 0 ≤ j ≤ n，记

那么

就是一个长度为 n + 2 的波长隔离序列对，同时

是一个长度为 2n + 1 的波长隔离序列对。

我们把这个证明省略掉。让我们回顾所有的完美哥隆尺（m > 1）。在下面的表中，我们把哥隆尺的二进制表达和各自产生的两个波长隔离序列对都罗列出来。

表6. 哥隆尺的二进制表达和各自产生的两个波长隔离序列对

我们看到，新产生的两个波长隔离序列是3阶完美哥隆尺所产生的第2个和4阶完美哥隆尺所产生的第2个波长隔离序列对。2阶完美哥隆尺所产生的第2个看上去与第一个不同，但实际上它与第1个是互补的。戈莱把其中的第1个忽略了。这样，我们就得到了全部已知的5对波长隔离序列对。

上面的构造方法基於完美哥隆尺。但由於没有高于4阶的完美哥隆尺，所以这个方法不能帮助人们得到新的波长隔离序列对。是否存在其他的波长隔离序列对还是一个未解的问题。

7. 射电望远镜阵列

射电天文学有两个研究课题。一个是通过接受来自宇宙的未知无线电电波来发现新的天体（如电波星系、类星体、脉冲星和天文物理迈射）；另一个是通过观测已知天体的位置来观测地球上的大陆板块移动。当人们寻找新的天体时，他们主要是要确定电波的角度；当人们研究地球板块的移动时，他们主要是通过计算已知天体发射的电波的角度变化来确定地球板块的变化。当然他们所使用的不是一个单一的射电望远镜。他们使用的是甚长基线干涉测量技术，多个天文望远镜同时观测一个天体，得到的观测效果是模拟出一巨型望远镜。优化这些望远镜之间的距离就可以利用哥隆尺。

美国地球物理学家，国家海洋和大气管理局的道格拉斯□罗伯逊（Douglas S. Robertson）是第一位尝试这个方法的科学家。他发现了13阶哥隆尺。这样他就可以知道应该把一组望远镜安装到什么地方。在射电天文学中使用哥隆尺的例子并不多，因为望远镜的安装受到地理位置的限制，而且望远镜之间的距离可以不是整数点。但这不妨碍人们从数学上知道我们应该选择的安装位置。让我们进一步了解一下甚长基线干涉测量技术的原理。

图11. 一组射电天文望远镜的安装

最简单的无线电干涉仪由两个天线组成，彼此之间的距离为 D（也称为基线）。点源到两个天线的瞬时反应可以在由点源和两个天线组成的平面上进行分析。对於段时间段来说，两维模型具有足够的近似。（但是在长时间段来说，由於必须考虑地球的自传，人们需要三维模型。）我们假定点源非常非常遥远。瞬时波面看作是一个平面。如图，具有方向角 θ 的波面在不同的时间到达两个天线。波面到达右边的天线比左边的天线要早

τg = (D/c) sinθ.

τg 称为几何延迟，其中 c 是光速。我们可以看出，如果我们有一组天线，那么我们应该让它们中两两之间的距离都不同（或者不接近），不然的话，我们得到的数据就出现了重复。往后的计算比较复杂，要涉及到傅里叶变换。我们不再深入讨论天文学家是如何使用这些数据。

在天文学上，无线电干涉仪不是唯一可以使用哥隆尺的地方。望远镜的口径也可以用到哥隆尺。未来美国宇航局基於太空的天体物理学任务需要在跨越紫外，可见和红外光谱的波长处获得高角度分辨率图像。然而，实现所需的分辨率对於单口径既不实用也不具有成本效益。例如，类似于远红外线中的哈勃太空望远镜的分辨率需要直径为一千米的单口径望远镜。相比之下，多口径与干涉测量技术相结合，能够以成本效益的方式实现高分辨率数据。

8. 结束语

哥隆尺源于应用走向计算。这个概念不难理解，但它给人们留下的是一些未解的问题。更重要的是它给人们的推广开启了思路。有了哥隆尺的准备，我们将在后续篇中介绍它在二维的推广：科斯塔斯阵列。

参考文献

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[4] distributed.net. "Project OGR." http://www.distributed.net/ogr.
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