0. 矩阵迹的定义

在线性代数中，一个n×n的对角矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。例子如下：

1. 基本性质

[1] 矩阵的迹等于其转置的迹，定义可以看出来。

[2] 连乘的矩阵的迹，循环交换位置后，迹不变。即一直将第一个矩阵放到最后一个；当然反着不断把最后一个放到第一个也可以。

[3] 迹等于特征根之和，这是最常见的性质了

[4] x, y 都是 n 维列向量, x乘以y转置的迹等于 y的转置直接乘以x 的结果

2. 二次型的迹

x 是一个的列向量， x' 为 nx1 行向量（转置），A为 nxn 方阵，二次型为，二次型是一个 1x1 的矩阵，故它的迹就为自身。因此可以得到，

可以看到第3，4个等号把放到一块去了，应该是一个有用的性质。

3. 矩阵相乘的迹

这里矩阵，也是 nxn 矩阵，求其迹。以下用 Xj 表示矩阵 X 第 j 列。

4. 迹的导数相关

[1] 一个矩阵的迹对自身的导数是单位矩阵I

[2] 两个矩阵和的迹对矩阵X的导数，等于各种的迹对矩阵X导数的和

[3] 关于矩阵X的映射g的迹对矩阵X的导数，等于该映射g直接对矩阵X的导数。

[4] 三个矩阵相乘的迹，对中间一个矩阵的导数，等于两边矩阵的乘积

[5] 四个矩阵相乘的迹

实际应用时看形式把A,C,B换成 I 即可。证明，

主要使用了1中的[1]，[2]及多个矩阵相乘时转置的性质。

[6] 矩阵X的n次幂的迹的导数，等于n乘以矩阵的n-1次幂。

参考：

关于矩阵迹的相关性质

为什么特征值之和会等于矩阵的迹？

第四章-向量的内积与二次型(华农线代).

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