向量与向量空间(vector space)
在维基百科关于 向量空间 的介绍中,并未提及构成向量空间的「向量」的具体形态,即它未必是我们通常理解的3维或者 nn 维的实数空间,只是提及对加法和数乘封闭。
0. 向量的使用
- 向量:大小和方向;
方向的意义在于,比如日常用到的邮政编码,相对顺序是很要紧的; - 存储数据
在一些问题的求解中,引进一个辅助向量 D→\overrightarrow D,它的每一个分量 D→i\overrightarrow D_i可以富裕特定的物理意义,比如在图论当中求解最短路径问题时,从开始点 vv 到其他每个终点 viv_i 的最短路径的长度。1. 向量空间
这里引入一个新的向量空间,比如:all 3×33\times 3 matrices. 也即矩阵也是一种向量(将 Rn\mathbb R^n 的概念延伸至 Rn×n\mathbb R^{n\times n}),只不过需要要求矩阵满足加法和数乘(乘法和向量空间没有关系),显然满足,即两个 3×33\times 3 的矩阵相加仍然是 3×33\times 3 的矩阵,一个 3×33\times 3的矩阵和一个数(scalar)相乘也仍旧是 3×33\times 3的矩阵。此时,我们单独考察 3×33\times 3 的向量空间或称作矩阵空间对数乘封闭这一性质,进而可以得到一种升级版的线性组合(linear combination),此时因为轴(axis)的关系,对应的编程实现便不再是np.dot,而应是np.tensordot,关于numpy下的多维数组的轴的讨论,请参阅numpy中多维数组的轴(axis)。
>>> np.random.seed(123) >>> X = np.random.randint(0, 6, [3, 2, 2]) >>> X array([[[5, 2],[4, 2]],[[1, 3],[2, 3]],[[1, 1],[0, 1]]])>>> np.tensordot(X, [1, 1, 1], axes=([0], [0])) array([[7, 6],[6, 6]])# 我们可将[1, 1, 1]替换为任一长度为3的数组# 数学含义即为矩阵空间的线性组合 # 等价于 >>> np.sum(X, axis=0) array([[7, 6],[6, 6]])
2. 矩阵空间其相关的子空间的维数
这里顺便澄清一下维数的定义,
定义:线性空间 VV 中线性无关向量所含向量的最大个数称为 VV 的维数(dimension)。
我们考察如下的矩阵空间(∀3×3\forall\;3\times 3,MM)的一个子空间(subspace),如所有 3×33\times 3 的对角矩阵(diagonal matrices,仍然保持对加法和数乘的封闭),它的维数是多少?
并非3*3==9,而是3,极大线性无关组所含向量的个数嘛,比如如下的一组线性无关组:
⎡⎣⎢1,0,0,0,0,0,000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢1,0,0,0,3,0,000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢0,0,0,0,0,0,007⎤⎦⎥.\begin{bmatrix} 1, &0,&0\\ 0,&0,&0\\ 0,&0,&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1, &0,&0\\ 0,&3,&0\\ 0,&0,&0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0, &0,&0\\ 0,&0,&0\\ 0,&0,&7 \end{bmatrix}.
再比如对称矩阵的维数为6,上三角矩阵的维数也为6。
3. 对不同的子空间取并(S∪US\cup U) 还是取和(S+US+U)
为什么我们对两个子空间的并集(union)不感兴趣,比如对称矩阵构成的子空间(SS)与上三角矩阵构成的子空间(UU),而它们的交集构成对角矩阵(S∩U=DS\cap U=D)。是因为此时 S∪US\cup U 构成的子空间不再是线性空间。
此时将 S∪US\cup U 约束为 S+US+U(direct sum,any element of SS +(向量加法) any element of UU=all 3*3 matrices)
这里又引申出另外一条重要的公式,维数公式:
定理(维数公式):如果 V1,V2V_1,\;V_2是数域 KK上的线性空间 VV的两个子空间,那么有如下的公式:dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)\dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2)+\dim (V_1\cap V_2)
也即 dim(V1+V2)=dimV1+dimV2−dim(V1∩V2)\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)
向量与向量空间(vector space)相关推荐
- 向量空间 Vector Space -- 推荐系统
文章目录 1. 算法解析 2. 基于相似用户做推荐 3. 基于相似歌曲做推荐 4. 总结 音乐App的功能越来越强大,不仅可以自己选歌听,还可以根据你听歌的口味偏好, 给你推荐可能会喜爱的音乐,有时候 ...
- 向量空间 vector space
向量空间表示为 R1,R2,R3,R4,...,Rn\bf{R}^1, \bf{R}^2, \bf{R}^3, \bf{R}^4, ..., \bf{R}^nR1,R2,R3,R4,...,Rn . ...
- nlp论文——《Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space》(向量空间中词表示的有效估计)
目录 <Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space> 第一课时:论文导读 (1)语言模型 (2)词向量简介-- ...
- 大数据入门10:向量空间模型(Vector Space Model)
文章目录 向量空间模型(Vector Space Model) 0. 概述 1. TF(Term frequency ,TF) 2. IDF(Inverse document frequency,ID ...
- 向量空间模型算法( Vector Space Model )
概念介绍 向量空间模型(VSM:Vector Space Model)由Salton等人于20世纪70年代提出,并成功 地应用于文本检索系统. VSM概念简单,把对文本内容的处理简化为向量空间中的向量 ...
- 自然语言处理(NLP)-1.3 向量空间模型(Vector Space Models)
1.向量空间模型(Vector Space Models) 1.1 基本概念 定义:向量空间模型将单词或文本用向量表示,通过上下文来获取其语义信息 功能:识别两文本/两类文档间的相似度和独立性 例: ...
- NLP --- 文本分类(向量空间模型(Vector Space Model)VSM)
本节主要介绍文本分类中的一种算法即向量空间模型,这个算法很经典,包含文本预处理.特征选择.特征权值计算.分类算法.这是VSM的几个主要步骤,在宗老师的书里都有详细的讲解,这里也会进行深入的讲解,浅显易 ...
- 数学基础 - 线性空间(Vector Space)
线性空间(Vector Space) 定义(Definition) 设V是一个非空集合,P是一个域: 加法: ∀α,β∈V ∀ α , β ∈ V \forall \; \alpha,\beta \i ...
- 论文翻译解读:Efficient estimation of word representations in vector space【Word2Vec】
文章目录 简要信息 重点内容概括 Efficient estimation of word representations in vector space 摘要 1 介绍 1.1 论文目标 1.2 以 ...
- 【论文解读 ICLR 2020 | Jure Leskovec组】Query2box: Reasoning over KGs in Vector Space using Box Embedding
论文题目:Query2box: Reasoning over Knowledge Graphs in Vector Space using Box Embeddings 论文来源:ICLR 2020 ...
最新文章
- html text alt,HTML alt text for image maps
- android access 腾讯地图,Android 腾讯地图 选点定位,仿微信发送位置
- (一).NET SubSonic2.0 的配置
- [转载]Apache之Hadoop学习:初识hadoop
- 攻略:如何快速赚取积分,Get云栖大会资料
- 四叶草社交平台——十天冲刺(10)
- 抛硬币正面期望_如果抛硬币,正面的数量多于反面的可能性
- 面试官又整新活,居然问我for循环用i++和++i哪个效率高?
- python内存技巧_使用__slots__节省python内存技巧
- 常用地理信息数据下载平台
- iphone5s越狱之后必装
- web前端开发工程师养成记
- 网管实战(4):网关地址与子网掩码
- Unity 回合制战斗系统(中级篇)-血条和伤害数值
- eNSP:如何解决防火墙上出现大量的提示信息呢?
- golang 后台管理系统框架
- js画图开发库--mxgraph--[grid-网格.html]
- 在linux上gc日志详解,JVM Parallel Scavenge GC日志详解
- LINUX kernel内核各版本下载
- 案例:FIFA2018球员数据分析
热门文章
- Mysql逻辑架构简介
- 惠斯通电桥信号调理芯片_变频器通电后无反应,如何检查维修?
- 循环取矩阵的某行_一文搞懂RNN(循环神经网络)基础篇
- oracle取时间最近的一条数据_当数据库最近一直卡顿时,第一时间应该用这条sql来分析...
- curl get请求传递参数_curl 命令
- 图像识别中——目标分割、目标识别、目标检测和目标跟踪的区别
- Linux IO原理和零拷贝机制
- 总结const、readonly、static三者的区别【收藏、转载】20190614
- 【Gerrit】Add a Member
- Spring Boot 部署与后台运行服务配置