线性空间(Vector Space)

定义(Definition)

设V是一个非空集合，P是一个域：

加法： ∀α,β∈V ∀ α , β ∈ V \forall \; \alpha,\beta \in V，总有唯一元素 γ∈V γ ∈ V \gamma \in V与之对应，称为 α α \alpha与 β β \beta的和，记作 γ=α+β γ = α + β \gamma = \alpha + \beta。
纯量乘法（数量乘法）： ∀k∈P ∀ k ∈ P \forall \; k \in P， ∀α∈V ∀ α ∈ V \forall \; \alpha \in V，总有唯一元素 δ∈V δ ∈ V \delta \in V与之对应，称为 k k k与α'>αα\alpha的积，记作 δ=kα δ = k α \delta = k\alpha。
加法与纯量乘法满足下列条件（设 α,β,γ∈Vandk,l∈P α , β , γ ∈ V a n d k , l ∈ P \alpha , \beta , \gamma \in V \quad and \quad k,l \in P）：
- α+β=β+α α + β = β + α \alpha + \beta = \beta + \alpha
- (α+β)+γ=α+(β+γ) ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)
- ∃零元素0∈V,∀α∈V⟹α+0=α ∃ 零元素 0 ∈ V , ∀ α ∈ V ⟹ α + 0 = α \exists \text{零元素} {\bf 0} \in V, \forall \alpha \in V \implies \alpha + {\bf 0} = \alpha
- ∀α∈V,∃β∈V,α+β=0 ∀ α ∈ V , ∃ β ∈ V , α + β = 0 \forall \alpha \in V, \exists \beta \in V, \alpha + \beta = 0，则称 β β \beta为 α α \alpha的负元素，记作 −α − α -\alpha
- 对P中单位元1，有 1α=α 1 α = α 1\alpha = \alpha
- (kl)α=k(lα) ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha = k(l\alpha)
- (k+l)α=kα+lα ( k + l ) α = k α + l α (k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha
- k(α+β)=kα+kβ k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta

则称V为域P上的一个向量空间（线性空间）。加法与纯量乘法称为线性运算。

本质： ∀(α,β∈V),∀(k,l∈P) ∀ ( α , β ∈ V ) , ∀ ( k , l ∈ P ) \forall (\alpha , \beta \in V), \forall (k , l \in P)，都有 kα+lβ∈V k α + l β ∈ V k\alpha + l\beta \in V

线性相关/无关(Linear Dependence/Independence)

如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数 c1,c2,⋯,cn∈F c 1 , c 2 , ⋯ , c n ∈ F c_1,c_2,\cdots,c_n \in F，使得 c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0 c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 c_1{\bf v_1} + c_2{\bf v_2} + \cdots + c_n{\bf v_n} = 0，那么其中有限多个向量 v1,v2,⋯,vn v 1 , v 2 , ⋯ , v n {\bf v_1,v_2,\cdots,v_n}称为线性相关的。

反之，称这组向量线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

基与维数(Basis and Dimension)

在线性空间V中，如果存在n个元素 α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n，满足：

α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性无关
∀α∈V ∀ α ∈ V \forall \alpha \in V，都可由 α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性表示

那么， α1,α2,⋯,αn α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，空间V称为由基 {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}张成的线性空间，记作 V=span{α1,α2,⋯,αn} V = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } V = span\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}。

性质： V={x|x=c1α1+c2α2+⋯+cnαn,ci∈R,i=1,2,⋯,n} V = { x | x = c 1 α 1 + c 2 α 2 + ⋯ + c n α n , c i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n } V = \{x|x = c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_n\alpha_n, \; c_i \in R, \; i = 1,2,\cdots,n \}

坐标：若V是一个线性空间， {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}是线性空间V的一组基，对于 α∈V α ∈ V \alpha \in V，如果有 α=x1α1+x2α2+⋯+xnαn α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n \alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n，那么其标识系数所构成的n为实向量 (x1,x2,⋯,xn) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_1,x_2,\cdots,x_n)称为 α α \alpha在基 {α1,α2,⋯,αn} { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}下的坐标。所以，线性空间的元素称为向量。

范数(Norm)

在线性空间V中定义一种运算 ||.||:V→R | | . | | : V → R ||.||:V \to R， ∀α,β∈V,c∈R ∀ α , β ∈ V , c ∈ R \forall \alpha , \beta \in V \; , \; c \in R 满足：

正定性： ||α||≥0,若||α||=0⟺α=0(零向量) | | α | | ≥ 0 , 若 | | α | | = 0 ⟺ α = 0 (零向量) ||\alpha|| \geq 0, \quad \text{若} ||\alpha|| = 0 \iff \alpha = {\bf 0}\text{(零向量)}
正齐次性： ||cα||=|c|||α|| | | c α | | = | c | | | α | | ||c\alpha|| = |c| \, ||\alpha||
次可加性（三角不等式）： ||α+β||≤||α||+||β|| | | α + β | | ≤ | | α | | + | | β | | ||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta||

则称 ||.|| | | . | | ||.||为线性空间V的一个范数（模），这样的V称为赋范矢量空间(Normed Vector Spaces)。在赋范矢量空间中的元素 α,β∈V α , β ∈ V \alpha , \beta \in V，定义 ||α−β|| | | α − β | | ||\alpha - \beta||为 α,β α , β \alpha , \beta之间的距离。

矩阵Frobenius范数

||A||F=∑i,ja2i,j−−−−−−√ | | A | | F = ∑ i , j a i , j 2

||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j} a_{i,j}^{2}}

数学基础 - 线性空间（Vector Space）相关推荐

nlp论文——《Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space》（向量空间中词表示的有效估计）
目录 <Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space> 第一课时:论文导读 (1)语言模型 (2)词向量简介-- ...
dual vector space
for the concepts of vector space and field, please refer to http://blog.csdn.net/seamanj/article/det ...
Vector space
In mathematics and physics, a vector space (also called a linear space) is a set whose elements, oft ...
论文翻译解读：Efficient estimation of word representations in vector space【Word2Vec】
文章目录简要信息重点内容概括 Efficient estimation of word representations in vector space 摘要 1 介绍 1.1 论文目标 1.2 以 ...
大数据入门10：向量空间模型（Vector Space Model）
文章目录向量空间模型(Vector Space Model) 0. 概述 1. TF(Term frequency ,TF) 2. IDF(Inverse document frequency,ID ...
Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space 笔记
先上这篇paper链接:https://arxiv.org/pdf/1301.3781.pdf 摘要这篇paper介绍了两种可从大规模数据集计算continuous vector represent ...
读论文《Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space》
读论文<Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space> 原文地址:http://blog.csdn.net/qq ...
【论文解读 ICLR 2020 | Jure Leskovec组】Query2box: Reasoning over KGs in Vector Space using Box Embedding
论文题目:Query2box: Reasoning over Knowledge Graphs in Vector Space using Box Embeddings 论文来源:ICLR 2020 ...
向量空间模型算法( Vector Space Model )
概念介绍向量空间模型(VSM:Vector Space Model)由Salton等人于20世纪70年代提出,并成功地应用于文本检索系统. VSM概念简单,把对文本内容的处理简化为向量空间中的向量 ...

数学基础 - 线性空间（Vector Space）