和函数问题的细节思考

@(微积分)

回顾一下和函数的问题。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53104162?locationNum=1&fps=1

再思考下面的几个要点。

必先求收敛域，如果是缺项级数，用带x的后项比前项 < 0, 解出x的不等式
及时清理掉首项为0的项,不然拖到后面的等比级数求和就是大大的误差
先积后导与先导后积的吸收系数的两点特征思考
- (n+1)xn→(∫x0(n+1)xn)′(n+1)x^n\rightarrow (\int_0^x(n+1)x^{n})'
- 1n+1xn+1→∫x0(1n+1xn+1)′\frac{1}{n+1}x^{n+1}\rightarrow \int_0^x(\frac{1}{n+1}x^{n+1})'
和函数一定连续，注意分段点的自我验证
求导降低了收敛能力（注意端点）
求积分增强了收敛能力（注意端点）

思考一道题目进行验证。

求∑∞n=04n2+4n+32n+1x2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n}的收敛域与和函数。

分析：即使没有明确要求收敛域，只要求和函数的题，收敛域也是需要求解的。这就像函数的定义域一样，是标配！

注意到，这里是缺项级数，因此不可以直接用系数之比来求收敛半径，虽然这里结果是一样的。

即,只可以用含x的后项比前项小于1来求区间。

limn→∞4(n+1)2+4(n+1)+32(n+1)+1⋅4n2+4n+32n+1⋅x2<1\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4(n+1)^2+4(n+1)+3}{2(n+1)+1}\cdot \frac{4n^2+4n+3}{2n+1}\cdot x^2

即：x∈(−1,1)x \in (-1,1)

端点处要单独考察。

代入x = -1,x=1易得都是发散的，因此收敛域就是(-1,1).

接下来是求和函数。

再次强调两个点：

系数吸收的要点
及时清理首项为0的项，这非常重要。

S(x)=∑n=0∞4n2+4n+32n+1x2n=∑n=0∞(2n+1)2+22n+1x2n=∑n=0∞(2n+1)x2n+∑n=0∞22n+1x2n=∑n=0∞(x2n+1)′+2x∑n=0∞12n+1x2n+1=(∑n=0∞x2n+1)′+2x∑n=0∞∫x2ndx=(x1−x2)′+2x∫∑n=0∞x2ndx=(x1−x2)′+2x∫11−x2dx=1+x2(1−x2)2+1xln|1+x1−x|,x≠0

S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4n^2+4n+3}{2n+1}x^{2n} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)^2+2}{2n+1}x^{2n} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} (2n+1)x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}x^{2n} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{2n+1})' + \frac{2}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}x^{2n+1} \\= (\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1})' + \frac{2}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\int x^{2n}dx \\= (\frac{x}{1-x^2})' + \frac{2}{x}\int\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}dx \\= (\frac{x}{1-x^2})' + \frac{2}{x}\int \frac{1}{1-x^2} dx\\= \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} + \frac{1}{x}ln|\frac{1+x}{1-x}|, x\neq 0

当x = 0时，S(0)= 3;

为了确保自己计算正确，根据和函数的连续型，可以求在0处的极限是不是也是3，这是很好的自测的方式。很重要。

因此，

S(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1+x2(1−x2)2+1xln|1+x1−x|,3,x≠0x=0

S(x) = \begin{cases}\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} + \frac{1}{x}ln|\frac{1+x}{1-x}|, & x\neq 0\\ \\ 3, & x = 0 \end{cases}

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