背景

AVL 树是一棵平衡的二叉查找树，于 1962 年，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在他们的论文《An algorithm for the organization of information》中发表。

所谓的平衡之意，就是树中任意一个结点下左右两个子树的高度差不超过 1。（本文对于树的高度约定为：空结点高度是 0，叶子结点高度是 1。）

那 AVL 树和普通的二叉查找树有何区别呢？如图，如果我们插入的是一组有序上升或下降的数据，则一棵普通的二叉查找树必然会退化成一个单链表，其查找效率就降为 O(n)。而 AVL 树因其平衡的限制，可以始终保持 O(logn) 的时间复杂度。

具体实现与代码分析

在我们进行完插入或删除操作后，很可能会导致某个结点失去平衡，那么我们就需要把失衡结点旋转一下，使其重新恢复平衡。

经过分析，不管是插入还是删除，它们都会有四种失衡的情况：左左失衡，右右失衡，左右失衡，右左失衡。因此每次遇到失衡时，我们只需判断一下是哪个失衡，再对其进行相对应的恢复平衡操作即可。

好，下面以插入操作为例，来看下这四种失衡的庐山真面目。（以下统一约定：红色结点为新插入结点，y 结点为失衡结点）

（1）左左失衡

所谓的左左，即 "失衡结点" 的左子树比右子树高 2，左孩子下的左子树比右子树高 1。

我们只需对 "以 y 为根的子树" 进行 "左左旋转 (ll_rotate)" 即可。一次旋转后，恢复平衡。

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

（2）右右失衡

所谓的右右，即 "失衡结点" 的右子树比左子树高 2，右孩子下的右子树比左子树高 1。

我们只需对 "以 y 为根的子树" 进行 "右右旋转 (rr_rotate)" 即可。一次旋转后，恢复平衡。

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

（3）左右失衡

所谓的左右，即 "失衡结点" 的左子树比右子树高 2，左孩子下的右子树比左子树高 1。

观察发现，若先对 "以 x 为根的子树" 进行 "右右旋转 (rr_rotate)"，此时 "以 y 为根的子树" 恰好符合 "左左失衡"，所以再进行一次 "左左旋转 (ll_rotate)"。两次旋转后，恢复平衡。

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

（4）右左失衡

所谓的右左，即 "失衡结点" 的右子树比左子树高 2，右孩子下的左子树比右子树高 1。

观察发现，若先对 "以 x 为根的子树" 进行 "左左旋转 (ll_rotate)"，此时 "以 y 为根的子树" 恰好符合 "右右失衡"，所以再进行一次 "右右旋转 (rr_rotate)"。两次旋转后，恢复平衡。

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

插入操作

插入成功后，在递归回溯时依次对经过的结点判断是否失衡，若失衡就需要对其进行对应的旋转操作使其恢复平衡，在这期间，原先作为一棵子树的根结点就会因为旋转被替换，因此设置insert_real( )返回的是新根结点，这样就可以实时更新根结点。

插入操作实现代码如下：

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

查找操作

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

删除操作

删除操作的四种失衡情况和插入操作一样，读者可以参考前文。下面是删除操作的实现代码：

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后继结点

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后继直接复制

node->key = x->key;

// 转化为删除后继

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等号

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等号

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

完整代码

/**

*

* author : 刘毅（Limer）

* date   : 2017-08-17

* mode   : C++

*/

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

struct Node

{

int key;

int height;

Node * left;

Node * right;

Node(int key = 0)

{

this->key = key;

this->height = 1;

this->left = this->right = nullptr;

}

};

class AVL

{

private:

Node * header;

private:

Node * ll_rotate(Node * y);

Node * rr_rotate(Node * y);

Node * lr_rotate(Node * y);

Node * rl_rotate(Node * y);

void destroy(Node * node);

int get_height(Node * node);

int get_balance(Node * node);

Node * insert_real(int key, Node * node);

Node * find_real(int key, Node * node);

Node * erase_real(int key, Node * node);

void in_order(Node * node);

public:

AVL();

~AVL();

void insert(int key);

Node * find(int key);

void erase(int key);

void print();

};

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

void AVL::destroy(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

destroy(node->left);

destroy(node->right);

delete node;

}

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后继结点

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后继直接复制

node->key = x->key;

// 转化为删除后继

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等号

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等号

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::in_order(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

in_order(node->left);

cout << node->key << " ";

in_order(node->right);

}

AVL::AVL()

{

header = new Node(0);

}

AVL::~AVL()

{

destroy(header->left);

delete header;

header = nullptr;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

void AVL::print()

{

in_order(header->left);

cout << endl;

}

int main()

{

AVL avl;

// test "insert"

avl.insert(7);

avl.insert(2);

avl.insert(1); avl.insert(1);

avl.insert(5);

avl.insert(3);

avl.insert(6);

avl.insert(4);

avl.insert(9);

avl.insert(8);

avl.insert(11); avl.insert(11);

avl.insert(10);

avl.insert(12);

avl.print(); // 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

// test "find"

Node * p = nullptr;

cout << ((p = avl.find(2)) ? p->key : -1) << endl;   //  2

cout << ((p = avl.find(100)) ? p->key : -1) << endl; // -1

// test "erase"

avl.erase(1);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

avl.erase(9);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

avl.erase(11);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 12

return 0;

}

起初构造的 AVL 树为下图：

总结

和二叉查找树相比，AVL 树的特点是时间复杂度更稳定，但缺点也是很明显的。

插入操作中，至多需要一次恢复平衡操作，递归回溯的量级为 O(logn)。有一点需要我们注意，在对第一个失衡结点进行恢复平衡后，递归回溯就应该立即停止（因为失衡结点的父亲及其祖先们肯定都是处于平衡状态的）。

但让 "递归的回溯" 中途停止，不好实现，所以我上面的编码程序都不可避免的会继续回溯，直到整棵树的根结点，而这些回溯都是没有必要的。（谢谢 LLL 的提醒，若在结点中增设父亲结点，就可以解决递归回溯的问题）

删除操作中，若存在失衡，则至少需要一次恢复平衡操作，递归回溯的量级亦为 O(logn)。与插入操作不同，当对第一个失衡结点恢复平衡后，它的父亲或者是它的祖先们也可能是非平衡的（见下图，删除 1），所以删除操作的回溯很有必要。

没有参照物对比的探讨是没有意义的，所以此文就止于此吧，有兴趣的朋友可以看下我后面《红黑树》及《AVL 树与红黑树的对比》的文章。

参考文献

维基百科. AVL 树.

GeeksforGeeks. AVL Tree | Set 1 (Insertion).

GeeksforGeeks. AVL Tree | Set 2 (Deletion).