二进制_简学：二进制数制的应用

设现有正整数150，二进制形式为10010110，现有如下题目，求其尽可能简单的解法。

题目一：判断该正整数是否是2的乘方；

解法：

由上表可以看出2的乘方的二进制形式只有一个bit为1，因此判断一个正整数A是否为2的乘方，可以判断A&(A-1)是否等于0，若结果为0，则是2的乘方，若不为0则不是2的乘方。

题目二：判断正整数是否能被4整除；

解法：

一个正整数可以将其表示为A=M*8+N；M是A的高位bit组成的数字，N是低三位bit组成的数字，例150=(10010)18*8+6；因为M*8是能被4整除的，因此只需判断N能否被4整除即可，从上式可以看出150的N值不能被4整除，所以该正整数不能被4整除。

题目三：不用乘法器求该正整数*3的结果；

解法：

根据上表一个正整数A*2的结果为将该正整数的二进制左移一个bit位，并低位补0。因此求一个正整数*3的结果根据乘法的基本定律得到：A*3=A*(2+1)=A*2+A,而A*2可以转换为左移补0的动作，因此A*3可以转换为不用乘法器的运算。

题目4：求一个未知整数除以7的余数，该整数的范围为0-255，要求不使用除法器；

解法：该整数的最大可能值为255，因此该整数的二进制形式可以用8个bit位表示X7X6X5X4X3X2X1X0；根据题目二的思想，可以将该整数表示为A=X7*128+X6*64+X5*32+X4*16+X3*8+X2*4+X1*2+X0；

A/7=(X7*128+X6*64+X5*32+X4*16+X3*8+X2*4+X1*2+X0)/7；

A/7=X7*(128/7)+X6*(64/7)+X5*(32/7)+X4*(16/7)+X3*(8/7)+(X2*4+X1*2+X0)/7；

根据除法的基本定律可以知道除法结果=商和余数：

分别计算上式的元素：

根据除法的基本定律可以得出A/7：

余P：X7*2+X6*1+X5*4+X4*2+X3*1+X2*4+X1*2+X0

=X7X6+X5X4X3+X2X1X0(P的最大值3+7+7=17)

商Q：X7*18+X6*9+X5*4+X4*2+X3*1+0

=9*X7X6+X5X4X3

由上式可以看出余数P的最大值可能为17因此余数P还能除以7；

因此真正的余数和商等于：

余：P/7取余p；商：Q+P/7取商q

因为P的值为0-17是有限的值，因此可以枚举求其商和余数：

case(P)

0:q=0;p=0;

1:q=0;p=1;

2:q=0;p=2;

。。。。。

17:q=2;p=3;

得到一个0-255的未知整数除以7的最终结果：

商=Q+q=9*X7X6+X5X4X3+q；余数=p，pq可有case(P=X7X6+X5X4X3+X2X1X0)求得，因此整个运算不需要用到除法器。

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