【CF1338C】Perfect Triples【位运算】【构造】

传送门

题意：有一序列SSS由下列方式生成：

找到字典序最小的正整数(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)，满足a,b,ca,b,ca,b,c不在SSS中且a⊕b⊕c=0a\oplus b\oplus c=0a⊕b⊕c=0,其中⊕\oplus⊕为异或
将a,b,ca,b,ca,b,c加入SSS
重复第一步

TTT组数据，求SSS的第nnn项。

T≤105,n≤1016T\leq 10^5,n\leq10^{16}T≤105,n≤1016

通过观察样例和理性猜想，可以假设前4k−14^k-14k−1项恰好填完了1∼4k−11\sim4^k-11∼4k−1，显然这是整数个三元组。采用归纳法构造4k∼4k+1−14^k\sim 4^{k+1}-14k∼4k+1−1

将每个序列中的数按二进制位两个为一组拆分（以下称拆成的两个二进制位为"位"），当前的数(已构造的和此步将构造的)有2(k+1)2(k+1)2(k+1)位

之前填的4k−14^k-14k−1项可以看成最高位为00\texttt{00}00，我们要构造的是最高位为01,10,11\texttt{01,10,11}01,10,11，后面kkk位分别遍历0∼4k−10\sim 4^k-10∼4k−1

对于每一个(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)显然有a<b<ca<b<ca<b<c

构造aaa最高位为01\texttt{01}01,容易得到b,cb,cb,c最高位为10,11\texttt{10,11}10,11。这是最理想的结果，下面将证明这种构造是可行的。

现在已经满足了a<b<ca<b<ca<b<c，那么a,b,ca,b,ca,b,c的后kkk位是互不影响的。下面讨论的都是这后kkk位。

现在考虑如何最小化字典序

对于一个已经确定的aaa，我们都需要找到最小的bbb(废话)

对于aaa上的每一位，都找到一个最小的对应的bbb的位即可（似乎还是废话，但似乎就是想不到）

设新构造的三元组为(ai,bi,ci)(0≤i≤2k−1)(a_i,b_i,c_i)(0\leq i\leq2^k-1)(ai,bi,ci)(0≤i≤2k−1)显然所有的ai=ia_i=iai=i

根据以上信息可以构造出(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)每一位字典序最小的对照表

盗用官方题解的图：

随便推一下就可以了

复杂度O(Tlog⁡n)O(T\log n)O(Tlogn)

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