51 nod 最大公约数之和（求1~n里面各个数的gcd和 n=1000000）

Description

小菜的妹妹小诗就要读小学了！正所谓计算机要从娃娃抓起，小菜决定在幼儿园最后一段轻松的时间里教妹妹编程。

 小菜刚教完gcd即最大公约数以后，一知半解的妹妹写了如下一段代码：sum:=0;for i:=1 to n-1 dofor j:=i+1 to n do sum:=sum+gcd(i,j)

显然这个程序的效率是很低的，小明打算写一个更强的程序，在求出sum的同时比妹妹跑的更快。

Input

 第一行一个整数t，即表示有t组数据接下来t行，每行一个整数n

Output

 t行，每行一个整数，表示n所对应的sum值

Sample Input

100

Sample Output

13015

Data Constraint

Hint

【数据规模】

 20%数据t≤100,n≤10040%数据t≤1000,n≤2000100%数据t≤10000,n≤1000000

The Solution

本周做了一道关于欧拉函数的题，
引起了我对欧拉函数的兴趣，
于是呢就找了这题来玩玩~~

题意很简单就是要求

∑i=1n∑j=i+1ngcd(i,j)

\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{j=i+1}gcd(i,j)

写得臭请见谅 o((>ω< ))o

转入正题——

首先我们得知道一个性质

先抛开这道题目

假设我们要求I=1~n的 gcd(n,i) gcd(n,i)的和,你会怎么做呢？

很显然这暴力并不科学，n非常大

于是

我们可以先假设 gcd(n,i)=k gcd(n,i)=k,则 gcd(n/k,i/k)=1 gcd(n/k,i/k) = 1
即假设 gcd(n/k,x)=1 gcd(n/k,x) = 1 则 gcd(n,x∗k)=k gcd(n,x*k)=k
gcd(n,x∗k)=k gcd(n,x*k)=k k的取值是确定的，即n的所有因子，
所以满足 gcd(n/k,x)=1 gcd(n/k,x) = 1个x的个数乘以k即为所有满足 gcd(n,i)=k gcd(n,i)=k的和。

因此题目就转化为 ∑ϕ(n/k)∗k \sum\phi(n/k)*k

这个题目也是类似的，只不过把n变成求1~n间的 gcd(i,j) gcd(i,j)

好了知道这个性质，我们可以做这道题了

首先我们可以设一个求和数组sum，他满足
sum(n)=sum(n−1)+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n−1,n) sum(n) = sum(n-1) + gcd(1,n) + gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)
设数组f[i]表示j=1~i的 gcd(j,i) gcd(j,i)值，则
f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n−1,n)=∑i∗ϕ(n/i) f(n) = gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n)=\sum{i*\phi{(n/i)}} I是n的因子

然后就用线筛预处理出phi
再预处理出f和sum数组即可

CODE

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define N 1000005using namespace std;typedef long long ll;int n,tot = 0;
int Pri[N],Phi[N];
ll f[N],sum[N];
bool Mark[N];void PHI(int m)
{Phi[1] = 1;fo(i,2,m){if (! Mark[i]) Phi[i] = i - 1,Pri[++ Pri[0]] = i;fo(j,1,Pri[0]){int x = Pri[j];if (i * x > m) break;Mark[i*x] = true;if (i % x == 0) {Phi[i*x] = Phi[i] * x; break;}else Phi[i*x] = Phi[i] * Phi[x]; }}
}int main()
{freopen("data.in","r",stdin);freopen("data.out","w",stdout);int t;scanf("%d",&t);PHI(N-5);fo(i,1,N-5)for (int j = i + i; j <= N -5;j += i) f[j] += i * Phi[j / i];sum[1] = 0;fo(i,2,N-5) sum[i] = sum[i-1] + f[i];while (t --){scanf("%d",&n);printf("%lld\n",sum[n]);}return 0;
}

这里再贴个求

∑i=1ngcd(i,n)

\sum^{n}_{i=1}gcd(i,n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;__int64 Euler(__int64 n)
{__int64 i,temp=n;for(i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){while(n%i==0)n=n/i;temp=temp/i*(i-1);}if(n!=1)temp=temp/n*(n-1);return temp;
}int main()
{__int64 n,i,sum,k;while(scanf("%I64d",&n)>0){sum=0;for(i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0)sum=sum+Euler(n/i)*i;k=n/i;if(n%k==0 && k!=i)sum=sum+Euler(n/k)*k;}printf("%I64d\n",sum);}return 0;
}