【POJ No. 2778】DNA 序列 DNA Sequence

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【题意】

DNA序列是一个只包含A、C、T和G的序列。分析DNA序列片段非常有用，若动物的DNA序列包含片段ATC，则意味着该动物可能患有遗传病。

给定m 个遗传病片段，求有多少种长度为n 的DNA序列不包含这些片段。

【输入输出】

输入：

第1行包含两个整数m （0≤m ≤10）和n （1≤n ≤2×109）。m 是遗传病片段的数量，n 是序列的长度。接下来的M 行，每行都包含一个DNA遗传病片段（长度不大于10）。

输出：

一个整数，不包含遗传病的DNA序列数mod 100000。

【样例】

【思路分析】

DNA序列只包含A、G、C、T共4种字母，给定m 个DNA遗传病片段，求有多少长度为n 的DNA序列不包含遗传病片段，可采用AC自动机解决。

【算法设计】

① 将遗传病片段插入字典树中。

② 构建AC自动机。注意：若当前节点的失败指针有结束标记，则对当前节点也要标记。

③ 构建邻接矩阵。对所有未标记的节点都重新编号，根据AC自动机构建邻接矩阵。

④ 求解矩阵的n 次幂，可用矩阵快速幂求解。

【举个栗子】

求解答案和矩阵有什么关系呢？

假设遗传病片段为{“ACG”, “C”}，则将两个字符串插入字典树中并构建AC自动机。

从每个节点出发的边有4条（A、T、C、G）。

从状态0出发走1步有4种走法：①走A到状态1（安全）；②走C到状态4（危险）；③走T到状态0（安全）；④走G到状态0（安全）。所以当n =1时，答案是3。

当n =2时，从状态0出发走2步，形成一个长度为2的字符串，只要在路径上没有经过危险节点，则有几种走法，答案就是几种。以此类推走n 步，就形成长度为n 的字符串。

这实际上相当于二元关系的复合运算，可以用图论里面的邻接矩阵相乘求解。

对上图的AC自动机建立邻接矩阵M ：

其中，M[i , j ]表示从节点i 到j 只走1步有几种走法，M 的n 次幂表示从节点i 到j 走n 步有几种走法。

注意：要去掉危险节点的行和列。节点3和4是遗传病片段的结尾，是危险节点，节点2的失败指针指向4，当匹配“AC”时也就匹配了“C”，所以2也是危险节点。去掉危险节点2、3、4后，邻接矩阵变成M ：

2 1
2 1

计算M[][]的n 次幂，∑(M[0, i ]) mod 100000就是答案。由于n很大，所以使用矩阵快速幂计算矩阵的n 次幂。

【算法实现】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>using namespace std;const int maxn=105;
const int K=4;
const int MOD=100000;struct mat{int a[maxn][maxn];mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
};
int root,L;mat mul(mat A,mat B){//矩阵乘法mat C;for(int i=0;i<L;i++)for(int j=0;j<L;j++)for(int k=0;k<L;k++)C.a[i][j]=(C.a[i][j]+(long long)A.a[i][k]*B.a[k][j])%MOD;return C;
}mat pow(mat A,int n){//A^nmat ans;for(int i=0;i<L;i++)ans.a[i][i]=1;//单位矩阵 while(n>0){if(n&1)ans=mul(ans,A);A=mul(A,A);n>>=1;}return ans;
}struct ACAutomata{int next[maxn][K],fail[maxn],end[maxn],id[maxn];int idx(char ch){//转化数字switch(ch){case 'A':return 0;case 'C':return 1;case 'T':return 2;case 'G':return 3;}return -1;}int newNode(){//新建结点 for(int i=0;i<K;i++)next[L][i]=-1;end[L]=0;return L++;}void init(){//初始化L=0;root=newNode();}void insert(char s[]){//插入一个结点int len=strlen(s);int p=root;for (int i=0;i<len;i++){int ch=idx(s[i]);if(next[p][ch]==-1)next[p][ch]=newNode();p=next[p][ch];}end[p]++;}void build(){//构建AC自动机queue<int> Q;fail[root]=root;for(int i=0;i<K;i++){if(next[root][i]==-1){next[root][i]=root;}else{fail[next[root][i]]=root;Q.push(next[root][i]);}}while(Q.size()){int now=Q.front();Q.pop();if(end[fail[now]])end[now]++;//重要!!如果当前结点的失败指针end有结束标记，当前结点的end++ for(int i=0;i<K;i++){if(next[now][i]!=-1){fail[next[now][i]]=next[fail[now]][i];Q.push(next[now][i]);}elsenext[now][i]=next[fail[now]][i];}}}int query(int n){mat F;int ids=0;memset(id,-1,sizeof(id));for(int i=0;i<L;i++)//对未标记的结点重新编号 if(!end[i])id[i]=ids++;for(int u=0;u<L;u++){if(end[u]) continue;for(int j=0;j<K;j++){int v=next[u][j];if(!end[v])F.a[id[u]][id[v]]++;}}L=ids;F=pow(F,n);int res=0;for(int i=0;i<L;i++)res=(res+F.a[0][i])%MOD;return res;}
}ac;int main(){int m,n;char str[20];while(~scanf("%d%d",&m,&n)){ac.init();while (m--){scanf("%s",str);ac.insert(str);}ac.build();printf("%d\n",ac.query(n));}return 0;
}

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