有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

(一)巴什博奕(Bash Game)：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+1)r+s，(r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k(≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下(m+1)的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game)：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak，bk)(ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对(0，0)，那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：(0，0)、(1，2)、(3，5)、(4，7)、(6，10)、(8，13)、(9，15)、(11，18)、(12，20)。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1，而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1。所以性质1。成立。

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势(ak，bk)的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使(ak，bk)的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b)，若b = a，则同时从两堆中取走a个物体，就变为了奇异局势(0，0)；如果a = ak，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果a = ak，b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势(ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak即可；如果a < ak，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj(j < k),从第二堆里面拿走b - bj即可；第二种，a=bj(j < k),从第二堆里面拿走b - aj即可。

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

那么任给一个局势(a，b)，怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k(1+√5)/2]，bk= ak + k(k=0，1，2，...,n方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/(1+√5)=(√5-1)/2，可以先求出j=[a(√5-1)/2]，若a=[j(1+√5)/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

(三)尼姆博奕(Nimm Game)：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用(a，b，c)表示某种局势，首先(0，0，0)显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是(0，n，n)，只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致(0，0，0)。仔细分析一下，(1，2，3)也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为(0，n，n)的情形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号(+)表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1，2，3)的按位模2加的结果：

1 =二进制01

2 =二进制10

3 =二进制11(+)

———————

0 =二进制00(注意不进位)

对于奇异局势(0，n，n)也一样，结果也是0。

任何奇异局势(a，b，c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势(a，b，c)，要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,我们只要将c变为a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c变为a(+)b，只要从c中减去c-(a(+)b)即可。

例1：(14，21，39)，14(+)21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14，21，27)。

例2：(55，81，121)，55(+)81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55，81，102)。

例3：(29，45，58)，29(+)45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为(29，45，48)。

例4：我们来实际进行一盘比赛看看：

甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势

乙:(1,8,9)->(1,8,4)

甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势

乙:(1,5,4)->(1,4,4)

甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势

乙:(0,4,4)->(0,4,2)

甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势

乙:(0,2,2)->(0,2,1)

甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势

乙:(0,1,1)->(0,1,0)

甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势

甲胜。

对于本次普及组“取石子游戏”来说，

19010011

7000111

5 000101

3 000011

010010 (18)10

50－18＝32

所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为奇异局势，即异或运算结果为0。

附：取石子游戏C程序

任给N堆石子,两人(游戏者与计算机)轮流从任一堆中任取,计算机先取,取最后一颗石子胜.

#include

unsigned int a[11];

int n;

void init1()

{int i;

printf("input n(2--10):"); scanf("%d",&n);

for (i=1;i<=n;i++)

{printf("input No.%d Number of stone:\n",i);

scanf("%d",&a[i]);}

}

void status()

{int i;

printf("Now remainder:\n");

for (i=1;i<=n;i++) printf(" No.%d rem: %u \n",i,a[i]);

}

unsigned int sum1()

{unsigned int s; int i;

s=0;

for(i=1;i<=n;i++) s+=a[i];

return s;

}

unsigned int xorall()

{unsigned int s; int i;

s=0;

for (i=1;i<=n;i++) s^=a[i];

return s;

}

main()

{unsigned int t;

int i,s,e;

init1();

while (sum1())

{if (xorall()==0)

{for (i=1;i<=n;i++)

if(a[i]>0)

{printf("computer take 1 from No.%d \n",i);

a[i]--; goto loop2;}

}

else

for (i=1;i<=n;i++)

{ s=a[i]-(xorall()^a[i]) ;

if (s>0)

{printf("computer take %u from No.%d \n",s,i);

a[i]^=xorall();

goto loop2;}

}

loop2:;

if(sum1()==0)

{printf("computer win!"); break;}

status();

while (1)

{printf("Input your selection

(examp. 1 2 means take 2 from No.1):\n");

scanf("%d %u",&e,&t);

if ((e>=1)&&(e<=n)&&(a[e]>=t))

{a[e]-=t; goto loop1;}

else

printf("data error! re-input...\n");

}

loop1:;

if(sum1()==0)

{printf("you win!"); break;}

}

}