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布尔代数法则

• 布尔代数(开关代数、逻辑代数)

• 它是一个封闭的代数系统，它可记为：

L={K，＋，·，￣，0 ，1}

其中K表示逻辑变量集；＋表示"或"运算， ·表示"

与"运算，￣表示"非"运算；

0和1表示常量，又表示自变量的定义域，又是函数

的值域。

• 公理：

A1 ：X=0 ≠if X1 A1'：X=1 ≠if X0

A2：if X=0，then X’=1 ’：A2if x=1，then X’=0

A3：0·0=0 A3’：1+1+1

A4：1·1=1 A4’：0+0=0

A5：0·1=1·0=0 A5’：0+1=1+0=1

•公理1：布尔代数是二值代数，0和1表示

常量，又表示自变量的定义域，又是函

数的值域。

•公理2 ：非运算的定义。

•公理3，4 ，5：与运算和或运算的定义。

•单变量定理：

–恒等律T1 ： X+0=X T1’：X ·1=X

– 空元素律T2 ：X+1=1 T2’：X ·0=0

– 幂等律T3 ： X+X=X T3’：X ·X=X

–对合律T4 ： (X’)’=X

– 互补律T5 ： X+X ’=1 T5’：X ·X ’=0

•2和3变量的定理

– 交换律T6 ：X+Y=Y+X T6’：X ·Y=Y ·X

– 结合律T7: (X+Y)+Z=X+(Y+Z)

T7’: (X·Y) ·Z=X ·(Y ·Z)

– 分配律T8 ：X ·Y+X ·Z=X ·(Y+Z)

T8’: (X+Y) ·(X+Z)=X+Y·Z

– 吸收律T9 ：X+X ·Y=X T9’：X ·(X+Y)=X

– 并项律T10 ：X ·Y+X ·Y ’=X

T10’: (X+Y) ·(X+Y’)=X

–包含律T11 ：XY+X ’Z+YZ=XY+X ’Z

T11’: (X+Y)(X’+Z)(Y+Z)=(X+Y)(X ’+Z)

•n变量布尔代数定理

–广义幂等律T12 ：X+X+ … +X=X

T12’：X ·X ·… ·X=X

– 德·摩根定律T13 ：

(X ·X ·… ·Xn)’=X ’+X ’+ … +Xn ’

1 2 1 2

T13’：

(X +X + … +Xn)’=X ’·X ’·… ·Xn ’

1 2 1 2

–广义德·摩根定理T14 ：(反演规则)

– 反演规则:对于任何一个逻辑函数F,若F表达

式中所有的“·”和“+”互换,“0”和“1”互换,原

变量和反变量互换,并保持原函数的运算顺序

不变则可得到函数F 的反函数F'。

例如: F=A'?B +C?D' 根据反演规则可得到

F'=(A+B')?(C'+D)

又如 F=A'+B'?(C+D'?E)根据反演规则得

到的反函数该是 F=A?[B+C'?(D+E')]

而不应该是 F=A?B+C'?D+E'

＋ ?

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