从时频特性出发——什么是循环卷积？

背景知识——离散傅里叶级数（DFS）和离散傅里叶变换（DFT）

首先回顾一套定理性质的规律：

时域连续非周期信号对应频域非周期连续信号
时域连续周期信号对应频域非周期离散信号
时域离散非周期信号对应频域周期连续信号
时域离散周期信号对应频域周期离散信号

这四对儿都不拆不散的鸳鸯，在这儿咱们关注第四句

时域离散周期信号对应频域周期离散信号

翻译翻译，就是说，时域周期性导致频域离散化，时域离散化将导致频域的周期延拓，从频域导回时域也一样。再定眼一看，这个对应关系是四组中唯一的“离散”对“离散”的。一看见离散就开始上劲了。

数据离散化对应的操作是抽样，我们看看抽这一对鸳鸯的画面。

图1：信号的时域表示（抽样后）

图2：信号的时域表示（抽样后）

公式是这么回事儿：
x~(n)=1N∑k=0N−1X~(k)ej2πNnk\tilde x(n) = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\tilde X(k){e^{j\frac{{2\pi }}{N}nk}}}x~(n)=N1k=0∑N−1X~(k)ejN2πnk
X~(k)=∑n=0N−1x~(n)e−j2πNnk\tilde X(k) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\tilde x(n){e^{ - j\frac{{2\pi }}{N}nk}}}X~(k)=n=0∑N−1x~(n)e−jN2πnk

上面这东西，就叫傅里叶级数（DFS）。一般编matlab的更喜欢下面的矩阵形式

X~=FNx~x~=1NFN∗X~\begin{array}{l} \tilde X = \mathop F\nolimits_N \tilde x\\ \tilde x = \frac{1}{N}\mathop F\nolimits_N^* \tilde X \end{array}X~=FNx~x~=N1FN∗X~

FN∈N×N\mathop F_N \in N×NFN∈N×N是matlab里用来执行fft的矩阵，FN(k,n)=e−j2πNkn\mathop F_N(k,n)={{e^{ - j\frac{{2\pi }}{N}kn}}}FN(k,n)=e−jN2πkn

数据上写‘~’就是为了标记这种周期性的数据，在后续的推导中，看见’~'就知道是长的周期序列。另外注意，这个求和区间是在0到N-1一个周期内，不是−∞-\infty−∞到+∞+\infty+∞。

以上就是DFS的基本方案。至于防混叠的抽样间隔选取，z域表达，DFS各种特性等，跟这篇文章关系不大，不说。

回过头来，常识知道随便给我一个信号，它不可能自带周期性，DFS就玩不转。需要做改变，这个骚操作就叫周期延拓，给一个不是无限长的信号，能让它戴上’~'周期化。翻过来看，从周期序列变到一段实值函数，就是加窗操作。

x(n)=x~(n)RN(n)x(n) = \tilde x(n){R_N}(n)x(n)=x~(n)RN(n)

对这个不带浪的x(n)x(n)x(n)的时频变换操作，就是DFT。相应的操作就变成了下面的

x(n)=1N∑k=0N−1X(k)ej2πNnk\ x(n) = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X(k){e^{j\frac{{2\pi }}{N}nk}}} x(n)=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk
X(k)=∑n=0N−1x(n)e−j2πNnk\ X(k) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x(n){e^{ - j\frac{{2\pi }}{N}nk}}} X(k)=n=0∑N−1x(n)e−jN2πnk

这么一看DFS与DFT没啥大区别，非也。一个是对无限长具有周期性函数的展开，一个是对任一有限长函数的操作，这是实现了不可为到为之的向前一小步。

线性卷积和循环卷积

从时域看

咱们这一块倒着推，先从承认它的存在开始。后续从频域看时，咱们再从它们开始往后推。

怼公式。
y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)y(n) = x(n)*h(n) = \sum\limits_{m = - \infty }^\infty {x(m)h(n - m)}y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑∞x(m)h(n−m)
这是线性卷积，它有一个基本特性是长度M和长度N的两个序列卷一块，出来的是M+N-1的一个序列。

再怼公式。
x3(n)=x1(n)⊗x2(n)=[∑m=0N−1x~1(m)x~2(n−m)]RN(n)\begin{array}{l} {x_3}(n) = {x_1}(n) \otimes {x_2}(n)\\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{{\tilde x}_1}(m){{\tilde x}_2}(n - m)} } \right]{R_N}(n) \end{array}x3(n)=x1(n)⊗x2(n)=[m=0∑N−1x~1(m)x~2(n−m)]RN(n)
这是循环卷积，开始有点蒙了。再说，它是两个长度一样的序列卷一块，出来的还是长度为N的序列，还会循环移位了。更蒙了，啥啥啥啊。咱们一点点看。

一个字，线性卷积周期延拓为周期卷积，周期卷积取主值区间为循环卷积。

意思是搞懂周期卷积就行了呗。

y~(n)=x~1(n)∗x~2(n)=∑m=0L−1x~1(m)x~2(n−m)=∑m=0L−1x~2(m)x~1(n−m)\begin{array}{c} \tilde y(n) = {{\tilde x}_1}(n)*{{\tilde x}_2}(n)\\= \sum\limits_{m = 0}^{L - 1} {{{\tilde x}_1}(m){{\tilde x}_2}(n - m)} \\= \sum\limits_{m = 0}^{L - 1} {{{\tilde x}_2}(m){{\tilde x}_1}(n - m)} \end{array}y~(n)=x~1(n)∗x~2(n)=m=0∑L−1x~1(m)x~2(n−m)=m=0∑L−1x~2(m)x~1(n−m)
这就叫周期卷积，是两个周期相同的均为L序列，在一个周期内的卷积结果。那么，上面公式里n-m是怎么实现的，也即序列周期卷积时是怎么移位的呢？

一张图。

图3：有限序列的循环移位过程

从图里看，有限序列的循环移位包括3步。
1.周期延拓
2.移位
3.加窗
((⋅))N((·))_N((⋅))N表示模除N。从一个周期看，上述效果就是循环移位了。然后同一个周期内的两个序列对应相乘再求和，周期卷积结果就出来了。

跟线性卷积不一样的是，“一个周期内” 进行卷积就把它的长度拿捏得死死的了。再长，没用，卡住。完事儿再加个窗，循环卷积结果就出来了，这是从时域来看。

发现端倪了，上面说的线性卷积的长度M+N-1和周期卷积的L啥关系。一个字，没关系。他们只不过是两种运算规则定义的自身属性，能有啥关系。不过要是从数值结果来看，也能扯上点渊源。如果想让长为L的一个周期内的循环卷积的结果，是纯的，不跟旁边周期掺和的，就得满足L>M+N-1。那循环卷积在操作时，两个序列长度分别是M和N，又咋变成L的，补零就成了。阅尽千帆，卷积还是那个卷积，是套路复杂了。

从频域看

怼公式。

地球人都知道，对一般的线性卷积来说，时域卷积对应频域乘积。
y~(n)=x1(n)∗x2(n)↔Y~(k)=X~1(k)⋅X~2(k)\tilde y(n) = {x_1}(n)*{x_2}(n) \leftrightarrow \tilde Y(k) = {{\tilde X}_1}(k) \cdot {{\tilde X}_2}(k)y~(n)=x1(n)∗x2(n)↔Y~(k)=X~1(k)⋅X~2(k)
敲黑板，这是有限求和还是无限求和？无限。

无限的玩不了，咱就想办法把有限的玩好。经过循环卷积，时域已经完成了有限操作，那么，它对应的频域形式是什么？

先给结论，与时域循环卷积对应的，是频域DFT的乘积。注意嗷，这两类操作都是有限的。

再怼公式。
老套路，给了两个频域有限信号X1(k)和X2(k)X_1(k) 和 X_2(k)X1(k)和X2(k) ，先延拓为X1((k))N和X2((k))NX_1((k))_ N 和 X_2((k)) _NX1((k))N和X2((k))N。

令Y(k)=X1(k)⋅X2(k)Y(k) = {X_1}(k) \cdot {X_2}(k)Y(k)=X1(k)⋅X2(k)，
则Y((k))N=X1((k))N⋅X2((k))NY{((k))_N} = {X_1}{((k))_N} \cdot {X_2}{((k))_N}Y((k))N=X1((k))N⋅X2((k))N

对Y((k))NY{((k))_N}Y((k))N做IDFS运算
y((n))N=1N∑k=0N−1Y((k))NF−kn=1N∑k=0N−1[∑m=0N−1x1((m))NFkm][∑r=0N−1x2((r))NFkr]F−kn=∑m=0N−1x1((m))N∑r=0N−1x2((r))N[1N∑k=0N−1F−k(n−m−r)]\begin{array}{c} y{((n))_N} = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {Y{{((k))}_N}{F^{ - kn}}} \\ = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\left[ {\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{x_1}{{((m))}_N}{F^{km}}} } \right]\left[ {\sum\limits_{r = 0}^{N - 1} {{x_2}{{((r))}_N}{F^{kr}}} } \right]{F^{ - kn}}} \\ = \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{x_1}{{((m))}_N}} \sum\limits_{r = 0}^{N - 1} {{x_2}{{((r))}_N}} \left[ {\frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{F^{ - k(n - m - r)}}} } \right] \end{array}y((n))N=N1k=0∑N−1Y((k))NF−kn=N1k=0∑N−1[m=0∑N−1x1((m))NFkm][r=0∑N−1x2((r))NFkr]F−kn=m=0∑N−1x1((m))Nr=0∑N−1x2((r))N[N1k=0∑N−1F−k(n−m−r)]

最后一个中括号里是有正交性的，其结果只有当r=n+mr=n+mr=n+m的时候才为111，别的时候都是0，上面这个式子就可以化成

y((n))N=∑m=0N−1x1((m))Nx2((n−m))Ny({(n))_N}= \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{x_1}({{(m)})_N}} {x_2}({(n - m))_N}y((n))N=m=0∑N−1x1((m))Nx2((n−m))N
这不就是周期卷积么，再加个窗，就得到下面的式子，也就是循环卷积了。

y(n)=y((n)N)RN(n)=x1(n)⊗x2(n)y(n) = y({(n)_N}){R_N}(n) = {x_1}(n) \otimes {x_2}(n)y(n)=y((n)N)RN(n)=x1(n)⊗x2(n)

另外，由于时频域的对偶性，可以推测有限的时域乘积对应的是有限的频域卷积，也会有别的有趣的结论。不说了。

联想——OFDM中加CP的解释

这也是我对循环卷积产生困惑的点。
现在想来，从时域上看，宽带信道的多径效应和带限特性会产生ISI，用数据片段末端数据作为cyclic pilot (cp)后，把不同径的数据段 “补齐” ，可以统一 “裁剪” 的同时还不损失原本数据，就克服了ISI。
从频域上看呢？因为是对有限数据进行的时频变换，循环卷积一直存在。假设多径产生的信道冲激响应长度为M，数据段长度为N，一个周期内会产生的卷积的长度为M+N-1。而如果不加CP，接收端以N为窗去截断，就会丢失数据。如果加上CP，使得L=N+CP≥M-N-1，即CP大于等于信道冲激响应强度，循环卷积这时就以L为窗去截了，截到的结果就是线性卷积的循环移位。为此，频域上数据没有丢失，变成了有限长度信道冲激响应和有限长度数据的频域的乘积。所以ISI在频域上也被消除了。

结论

最后给结论，玩有限的时候，时域循环卷积对应的是频域DFT乘积。玩无限的时候，时域线性卷积对应的是频域DTFT乘积。

情况就是这么个情况，因为本科不是搞通信的，这问题困扰了我好久，从认知的角度来说进行了一次不系统的推理，希望对大家有所帮助。第一次编辑，不太会套路，可能会有赘述，谢谢大家包涵。